河南省南阳市2021-2022学年高三上学期理数期末考试试卷

更新时间：2022-09-21 浏览次数：71 类型：期末考试

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 6

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2. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的定义域是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 最大值为 $\text{[math]}$ ，最小值为-1 B . 最大值为 $\text{[math]}$ ，最小值为-3 C . 最大值为0，最小值为-3 D . 最大值为0，最小值为-1

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5. 在明朝程大位《算法统宗》中有首依筹算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争.”题意是：“现有甲､乙､丙､丁､戊､己､庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲､乙两人共237钱，戊､己､庚三人共261钱，求各人钱数.”根据上题的已知条件，戊有（）

A . 107钱 B . 102钱 C . 101钱 D . 94钱

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6. 已知三棱锥P-BCD， $\text{[math]}$ ，其余各棱长均为4，E为棱PB的中点，则三棱锥E-PCD的体积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知双曲线C： $\text{[math]}$ ， P为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，则双曲线的半焦距c的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2022高二下·河南月考) $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 2021年8月17日，国家发改委印发的《2021年上半年各地区能耗双控目标完成情况晴雨表》显示，青海､宁夏､广西､广东､福建､新疆､云南､陕西､江苏､浙江､安徽､四川等12个地区能耗强度同比不降反升，全国节能形势十分严峻.某地市为响应节能降耗措施，决定对非繁华路段路灯在晚高峰期间实行部分关闭措施.如图，某路段有十盏路灯（路两边各有五盏），现欲在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，则不同的关闭方案有（）

A . 15种 B . 16种 C . 17种 D . 18种

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 一定有（）

A . 极大值，且极大值为 $\text{[math]}$ B . 极小值，且极小值为 $\text{[math]}$ C . 极大值，且极大值为0 D . 极小值，且极小值为0

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11. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角是.

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14. 设抛物线 $\text{[math]}$ 上一点P到其焦点F的距离为 $\text{[math]}$ ， O为坐标原点，则△POF的面积为.

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15. 某空间几何体的三视图如图所示（图中已标数据），则该几何体的外接球表面积为.

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若对任意 $\text{[math]}$ ，恒有 $\text{[math]}$ 成立，则实数m的取值范围是.

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三、解答题

17. 学校准备筹建数学建模学习中心，为了了解学生数学建模（应用）能力，专门对高二报名的100名学生进行了数学建模闭卷测试，得分在45~95之间，分为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.

参考数据：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数 $\text{[math]}$ 和方差 $\text{[math]}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
2. （2）根据样本数据，可认为参与建模测试的学生分数 $\text{[math]}$ 近似服从正态分布 $\text{[math]}$ ，其中μ近似为样本平均数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 近似为样本方差 $\text{[math]}$ .
  
  ①求 $\text{[math]}$ ；
  ②学校为鼓励学生积极参与数学建模活动，决定对本次测试中90.8分以上的同学进行表彰.若某班正好有6人参与了这次测试，求这个班至少有1人获得表彰的概率.
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18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面 $\text{[math]}$ 底面ABCD，平面 $\text{[math]}$ 底面ABCD， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E是PD的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 底面ABCD；
2. （2）求二面角B-AC-E的余弦值.
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19. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .
1. （1）求A；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的内切圆半径 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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20. 已知圆O： $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：过圆O上点 $\text{[math]}$ 的切线方程为 $\text{[math]}$ .类比前面的结论，写出过椭圆C： $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 的切线方程（不用证明）.
2. （2）已知椭圆C： $\text{[math]}$ ， Q为直线 $\text{[math]}$ 上任一点，过点Q作椭圆C的切线，切点分别为A､B，利用（1）的结论，求证：直线AB恒过定点.
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ .
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22. 在直角坐标系xOy中，曲线E的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的极坐标方程分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交曲线E于点A，B， $\text{[math]}$ 交曲线E于点C，D.
1. （1）求曲线E的普通方程及极坐标方程；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ 为定值.
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23. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，记函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的最大值为M，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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