广东省广州市2023届高三上学期8月阶段测试数学试题

更新时间：2022-08-30 浏览次数：75 类型：月考试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1. 若全集 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . {9} D . $\text{[math]}$

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2. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 4

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3. 记 $\text{[math]}$ “方程 $\text{[math]}$ 表示椭圆”， $\text{[math]}$ “函数 $\text{[math]}$ 无极值”，则p是q的（）

A . 充要条件 B . 充分不必要条件 C . 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 如图，2008年北京奥运会游泳中心（水立方）的设计灵感来于威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处都有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体有24个顶点，且棱长为1，则该多面体的表面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 4名同学各掷了5次骰子，分别记录每次骰子出现的点数．若下列是根据4名同学各自的统计结果的数字特征，则可以判断出一定没有出现点数6的是（）

A . 平均数为3，中位数为2 B . 中位数为3，众数为2 C . 中位数为3，方差为2.8 D . 平均数为2，方差为2.4

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6. $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数是（）

A . 45 B . 84 C . 120 D . 210

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7. 若空间中经过定点O的三个平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两垂直，过另一定点A作直线l与这三个平面的夹角都相等，过定点A作平面 $\text{[math]}$ 和这三个平面所夹的锐二面角都相等．记所作直线l的条数为m，所作平面 $\text{[math]}$ 的个数为n，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4 B . 8 C . 12 D . 16

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8. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

9. 18世纪末期，挪威测量学家韦塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如 $\text{[math]}$ ，也即复数的模的几何意义为z对应的点z到原点O的距离．下列说法正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . 复数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别对应向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 对应的复数为 $\text{[math]}$ C . 若点Z的坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 对应的点在第三象限 D . 若复数z满足 $\text{[math]}$ ，则复数z对应的点所构成的图形面积为 $\text{[math]}$

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10. 若 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 的最小正周期是 $\text{[math]}$ B . 方程 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一条对称轴 C . $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对 $\text{[math]}$ 都满足 $\text{[math]}$ ，（a，b是实常数）

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11. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 上的四点 $\text{[math]}$ ， B，C，P，直线AB，AC是圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，直线PQ、PR与圆M分别切于点Q、R，则下列说法正确的有（）

A . 当劣弧QR的弧长最短时， $\text{[math]}$ B . 当劣弧QR的弧长最短时， $\text{[math]}$ C . 直线BC的方程为 $\text{[math]}$ D . 直线BC的方程为 $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ 及其导函数 $\text{[math]}$ 的定义域均为R，对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，恒有 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 必有奇函数 C . $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 若角 $\text{[math]}$ 的终边经过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ ．

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15. 已知随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸．课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠．若折痕（线段）将纸片分为面积比为1：3的两部分，则折痕长度的取值范围是cm．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．

17. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将A与B中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列 $\text{[math]}$ （若有相同元素，按重复方式计入排列）为1，3，3，5，7，9，9，11，…．设数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求m的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值．
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18. 某校所在省市高考采用新高考模式，学生按“ $\text{[math]}$ ”模式选科参加高考：“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目；“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门科目．

附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（1）为摸清该校本届考生的选科意愿，从本届750位学生中随机抽样调查了100位学生，得到如下部分数据分布：

	选物理方向	选历史方向	合计
男生	30		40
女生
合计	50		100

请在答题卡的本题表格中填好上表中余下的5个空，并判断是否有99.9% 的把握认为该校“学生选科的方向”与“学生的性别”有关；

（2）记已选物理方向的甲、乙两同学在“4选2”的选科中所选的相同的选科门数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望．

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19. 在 $\text{[math]}$ 中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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20. 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 侧面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若直线AC与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系，并予以证明．
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21. 设 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的极值；
2. （2）若对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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22. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，经过双曲线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 作互相垂直的直线AM、AN分别交双曲线 $\text{[math]}$ 于M、N两点．设线段AM、AN的中点分别为B、C，直线OB、OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点A作 $\text{[math]}$ （D为垂足），请问：是否存在定点E，使得 $\text{[math]}$ 为定值？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
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