浙江省杭州地区（含周边）重点中学2021-2022学年高二上...

更新时间：2022-09-06 浏览次数：93 类型：期中考试

一、单选题

1. 直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若复数 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为虚数单位)，则 $\text{[math]}$ =（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图，在四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上靠近 $\text{[math]}$ 的三等分点， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 两条平行直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 间的距离为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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5. 设 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 是两条不同的直线， $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，则能得出 $\text{[math]}$ 的是（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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6. 如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4， $\text{[math]}$ 为圆锥底面圆的直径， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是母线 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积为（）

A . 12π B . 17π C . 24π D . 68π

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二、多选题

9. 已知直线 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直 B . 若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行，则 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角一定大于30° D . 当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 在两坐标轴上的截距相等

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10. 圆 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，则有（）

A . 公共弦 $\text{[math]}$ 所在直线方程为 $\text{[math]}$ B . 圆 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离等于1的点有2个 C . 公共弦 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上的一个动点，则 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离的最大值为 $\text{[math]}$

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11. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）

A . 甲与丙相互独立 B . 甲与丁相互独立 C . 乙与丙相互独立 D . 乙与丁相互独立

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12. 如图，若正方体的棱长为1，点 $\text{[math]}$ 是正方体 $\text{[math]}$ 的侧面 $\text{[math]}$ 上的一个动点(含边界)， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A . 沿正方体的表面从点A到点 $\text{[math]}$ 的最短路程为 $\text{[math]}$ B . 若保持 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 在侧面 $\text{[math]}$ 内运动路径的长度为 $\text{[math]}$ C . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大值为 $\text{[math]}$ D . 若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上运动，则 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离的最小值为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 费马大定理又称为“费马最后定理”，由17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出，他断言当 $\text{[math]}$ 时，关于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 没有正整数解．他提出后，历经多人猜想辩证，最终在1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明．某同学对这个问题很感兴趣，决定从1，2，3，4，5，6这6个自然数中随机选一个数字作为方程 $\text{[math]}$ 中的指数 $\text{[math]}$ ，方程 $\text{[math]}$ 存在正整数解的概率为．

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14. 若复数 $\text{[math]}$ （i是虚数单位）是关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的一个根，则 $\text{[math]}$ =.

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15. 由10个实数组成的一组数据，方差为 $\text{[math]}$ ，将其中一个数3改为1，另一个数6改为8，其余的数不变，得到新的一组数，方差为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. 如图，在四棱台 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 在 $\text{[math]}$ 中，已知角 $\text{[math]}$ 所对应的边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点，且满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的面积；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的长.
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18. (2021高二上·楚雄月考) 第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $\text{[math]}$ ，第二组 $\text{[math]}$ ，第三组 $\text{[math]}$ ，第四组 $\text{[math]}$ ，第五组 $\text{[math]}$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）估计这100名候选者面试成绩的众数，平均数和第60%分位数（分位数精确到0.1)；
3. （3）在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
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19. 如图，平行六面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
1. （1）求对角线 $\text{[math]}$ 的长度；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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20. 已知直线 $\text{[math]}$ 的方程为： $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 两点，
1. （1）求原点到直线 $\text{[math]}$ 距离的最大值及此时直线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为常数，直线 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 有一个公共点，求 $\text{[math]}$ 的最小值 $\text{[math]}$ .
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21. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是等边三角形，底面 $\text{[math]}$ 是边长为3的正方形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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22. 已知圆 $\text{[math]}$ 的方程为： $\text{[math]}$
1. （1）已知过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）如图，过点 $\text{[math]}$ 作两条直线分别交抛物线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并且都与动圆 $\text{[math]}$ 相切，求证：直线 $\text{[math]}$ 经过定点，并求出定点坐标.
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