江苏省南通市如皋市2021-2022学年高二上学期数学期中考...

更新时间：2022-08-18 浏览次数：65 类型：期中考试

一、单选题

1. 已知首项为 $\text{[math]}$ 的正项数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 64 B . 60 C . 48 D . 32

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2. (2018高二上·黑龙江月考) 已知 $\text{[math]}$ 是椭圆与双曲线的公共焦点， $\text{[math]}$ 是它们的一个公共点，且 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线过 $\text{[math]}$ ，若椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，双曲线的离心率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 6 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2021高二下·南京开学考) 17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程 $\text{[math]}$ (k>0，k≠1，a≠0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A ， B两点)引垂线，垂足为Q ，则 $\text{[math]}$ 为常数.据此推断，此常数的值为（）

A . 椭圆的离心率 B . 椭圆离心率的平方 C . 短轴长与长轴长的比 D . 短轴长与长轴长比的平方

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4. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q、P的距离之比 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 $\text{[math]}$ ，定点Q为x轴上一点， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 给出下列命题，其中是真命题个数的是（）
①若直线 $\text{[math]}$ 的方向向量 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的方向向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 平行②若直线 $\text{[math]}$ 的方向向量 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的法向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ③若平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的法向量分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ④若平面 $\text{[math]}$ 经过三点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ 是平面 $\text{[math]}$ 的法向量，则 $\text{[math]}$ ⑤若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 关于平面 $\text{[math]}$ 的对称点，则点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ⑥若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的方差为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的方差为27
⑦若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则与 $\text{[math]}$ 共线的单位向量是 $\text{[math]}$

A . 2 B . 3 C . 5 D . 4

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6. (2022·岳普湖模拟) 对于数列 $\text{[math]}$ ，若存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的“谷值”， $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的“谷值点” $\text{[math]}$ 在数列 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ 的“谷值点”为（）

A . 2 B . 7 C . 2，7 D . 2，3，7

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7. (2018高一下·遂宁期末) 对于数列 $\text{[math]}$ ，定义 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的“好数”，已知某数列 $\text{[math]}$ 的“好数” $\text{[math]}$ ，记数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知正四面体 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，点P、Q分别为线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，满足 $\text{[math]}$ ， M为线段 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 下列结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 方向向量， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量； B . 坐标平面内过点 $\text{[math]}$ 的直线可以写成 $\text{[math]}$ ； C . 直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且原点到 $\text{[math]}$ 的距离是2，则 $\text{[math]}$ 的方程是 $\text{[math]}$ ； D . 设二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为 $\text{[math]}$ .

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10. 定义空间两个向量的一种运算 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. 下列说法正确的是（）

A . 椭圆 $\text{[math]}$ 上任意一点 $\text{[math]}$ 非左右顶点 $\text{[math]}$ 与左右顶点连线的斜率乘积为 $\text{[math]}$ B . 过双曲线 $\text{[math]}$ 焦点的弦中最短的弦长为 $\text{[math]}$ C . 抛物线 $\text{[math]}$ 上两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则弦 $\text{[math]}$ 经过焦点的充要条件是 $\text{[math]}$ D . 若直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 只有一个公共点，则直线与该抛物线相切

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12. 有一列数： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和 $\text{[math]}$ 人们把这样的一列数组成的数列 $\text{[math]}$ 称为斐波那契数列，又称黄金分割数列 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 $\text{[math]}$ 在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用，现将数列 $\text{[math]}$ 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ，若数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，公比为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2018·全国Ⅲ卷理) 已知点 $\text{[math]}$ 和抛物线 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的焦点且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若对任意 $\text{[math]}$ ，所有的正整数n都有 $\text{[math]}$ 成立，则实数k的取值范围是.

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15. 已知点 $\text{[math]}$ 是正方体 $\text{[math]}$ 表面上一动点，且满足 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是.

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16. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的标准方程为；若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 右支上一动点，且 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与以 $\text{[math]}$ 为直径的圆相交于另一点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值是．

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四、解答题

17. 在① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，补充下面的问题中，若问题中的 $\text{[math]}$ 存在，求 $\text{[math]}$ 的最小整数值；若 $\text{[math]}$ 不存在，请说明理由．
问题：设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ．若______，则是否存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？

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18. 直角三角形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一个动点，且 $\text{[math]}$ ，如图所示，沿 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 翻折至 $\text{[math]}$ ，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）是否存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正弦值是 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．
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19. 如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， M是AB的中点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；
3. （3）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为 $\text{[math]}$ ，若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由．
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20. 在平面 $\text{[math]}$ 中，已知椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且离心率 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 方程为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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21. 已知一条动直线3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0，
1. （1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；
2. （2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
3. （3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当 $\text{[math]}$ 取最小值时，求直线的方程.
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22. 已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ；
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ 是等比数列，并求 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ；
3. （3）数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，若不等式 $\text{[math]}$ 对一切 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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