一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
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A . 3:2
B . 2:1
C . 4:3
D . 5:3
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5.
在
中,若
,
,三角形的面积
,则三角形外接圆的半径为( )
A .
B . 2
C .
D . -2
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6.
下列命题中是真命题的有( )
A . 一组数据2,1,4,3,5,3的平均数、众数、中位数相同
B . 有A,B,C三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查,如果抽取的A个体数为9,则样本容量为30
C . 若甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,10,5,则这两组数据中较稳定的是甲
D . 一组数1,2,2,2,3,3,3,4,5,6的80%分位数为4
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7.
如图,在正三棱柱
中,
,M、N分别是
和
的中点,则直线AM与CN所成角的余弦值等于( )
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二、多选题(本题共有4道小题,每小题5分,共20分.有多项符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的0分)
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11.
为了解某贫困地区实施精准扶贫后的成果,现随机抽取了该地区三个县市在2021年建档立卡人员年人均收入提升状况.经统计,A县建档立卡人员年人均收入提升状况用饼状图表示,B县建档立卡人员年人均收入提升状况用条形图表示,C县建档立卡人员年人均收入提升的均值为122(百元),方差为4,A,B,C三县建档立卡人数比例为3:4:5,则下列说法正确的有( )
A . A县建档立卡人员年人均收入提升的均值为122
B . B县建档立卡人员年人均收入提升的方差为5.6
C . 估计该地区建档立卡人员的年人均收入提升120.75百元
D . C县精准扶贫的效果最好
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三、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共计20分)
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13.
2022北京冬奥会期间,吉祥物冰墩墩成为“顶流”,吸引了许多人购买,使一“墩”难求.甲、乙、丙3人为了能购买到冰墩墩,商定3人分别去不同的官方特许零售店购买,若甲、乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为
,丙购买到冰墩墩的概率为
,则甲、乙、丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为
.
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14.
已知复数z满足
,则
的最大值是
.
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15.
某市为了调查中学生的心理健康情况,制作了一份心理调查问卷,A校有200名学生参与了调查,心理健康评估的平均值为a,方差为2,B校有500名学生参与了调查,心理健康评估的平均值为b,方差为
.若
,则这两个学校全体参与调查的学生的心理健康评估分的方差为
.
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16.
体积为8的四棱锥
的底面是边长为
的正方形,底面ABCD的中心为
,四棱锥
的外接球球心O到底面ABCD的距离为1,则点P的轨迹长度为
.
四、解答题(本题共6道小题,共计70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
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17.
如图,在正三棱柱
中,D为AB的中点,
,
.
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(1)
求证:平面
平面
;
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(2)
求点A到平面
的距离.
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18.
从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩,被测学生成绩全部介于65分到145分之间,将统计结果按如下方式分成八组:第一组
,第二组
,…,第八组
,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.
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(2)
用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分;
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(3)
若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名,求他们的分差的绝对值小于10分的概率.
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19.
在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,且
.
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(2)
若
、
,D为直线BC上一点,且
,求△ABD的周长.
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20.
如图,在四棱锥
中,
,
平面PAB,
且
,F为PC中点.
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(1)
求证:
平面PAB;
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21.
在①
,
,且
,②
,③
这三个条件中任选一个补充在下面问题中,并解答.
已知△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.
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(2)
若
,△ABC的面积是
,点M是BC的中点,求AM的长度.
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22.
平行四边形ABCD中,
,
,如图甲所示,作
于点E.将△ADE沿着DE翻折,使点A与点P重合,如图乙所示.
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(1)
设平面PEB与平面PDC的交线为l,判断l与CD的位置关系,并证明;
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(2)
当四棱锥
的体积最大时,求二面角
的正切值;
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(3)
在(2)的条件下,G、H分别为棱DE,CD上的点,求空间四边形PGHB周长的最小值.