2022年高考理数真题试卷（全国甲卷）

更新时间：2022-06-13 浏览次数：637 类型：高考真卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022·全国甲卷) 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（）

A . 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B . 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C . 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D . 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

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3. 设全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2022·全国甲卷) 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）

A . 8 B . 12 C . 16 D . 20

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5. 函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 的图像大致为（）

A . B . C . D .

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6. (2022·全国甲卷) 当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 取得最大值 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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7. (2022·全国甲卷) 在长方体 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 所成的角均为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . AB与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$

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8. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， $\text{[math]}$ 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ．“会圆术”给出 $\text{[math]}$ 的弧长的近似值s的计算公式： $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2022·全国甲卷) 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 $\text{[math]}$ ，侧面积分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，体积分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 椭圆 $\text{[math]}$ 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 $\text{[math]}$ 的斜率之积为 $\text{[math]}$ ，则C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 设函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 恰有三个极值点、两个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 设向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 若双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线与圆 $\text{[math]}$ 相切，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为．

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16. (2022·全国甲卷) 已知 $\text{[math]}$ 中，点D在边BC上， $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 取得最小值时， $\text{[math]}$ ．

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. (2022·全国甲卷) 记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前n项和．已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 是等差数列；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 成等比数列，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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18. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求PD与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正弦值．
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19. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
1. （1）求甲学校获得冠军的概率；
2. （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
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20. (2022·全国甲卷) 设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求C的方程：
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角分别为 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 取得最大值时，求直线AB的方程．
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求a的取值范围；
2. （2）证明：若 $\text{[math]}$ 有两个零点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
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四、选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. (2022·全国甲卷) 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数），曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （s为参数）．
1. （1）写出 $\text{[math]}$ 的普通方程；
2. （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交点的直角坐标，及 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交点的直角坐标．
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23. (2022·全国甲卷) 已知a，b，c均为正数，且 $\text{[math]}$ ，证明：
1. （1） $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
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