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吉林省长春市普通高中2022届高三理数质量监测（五）

更新时间：2022-06-17 浏览次数：63 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 子集的个数为（）

A . 3 B . 4 C . 7 D . 8

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2. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 4

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3. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 2022年北京冬奥会开幕式倒计时环节把二十四节气与古诗词、古谚语融为一体，巧妙地呼应了今年是第二十四届冬奥会，更是把中国传统文化和现代美学完美地结合起来，彰显了中华五千年的文化自信．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的．当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点．从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度，因此分为24个节气，则今年高考前一天芒种为黄经（）

A . 60度 B . 75度 C . 270度 D . 285度

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5. 当圆 $\text{[math]}$ 截直线 $\text{[math]}$ 所得的弦长最短时，m的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . -1 D . 1

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6. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则n的值为（）

A . 8 B . 9 C . 16 D . 18

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7. 甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示（如图一），茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图（如图二）完好，则下列结论正确的是（）

A . 甲得分的极差是11 B . 甲的单场平均得分比乙低 C . 甲有3场比赛的单场得分超过20 D . 乙得分的中位数是16.5

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8. 对任意不相等的两个正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 的函数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P为边AB上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . -4 B . -2 C . 2 D . 4

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10. 在矩形ABCD中，O为BD中点且 $\text{[math]}$ ，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角 $\text{[math]}$ 为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记 $\text{[math]}$ ，则在x轴正方向和y轴正方向的夹角为 $\text{[math]}$ 的斜坐标系中，下列选项错误的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 距离为 $\text{[math]}$ B . 点 $\text{[math]}$ 关于原点的对称点为 $\text{[math]}$ C . 向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 平行的充要条件是 $\text{[math]}$ D . 点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的图象恰有6个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. $\text{[math]}$ 展开式中的常数项是.

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14. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的S为 $\text{[math]}$ ，则判断框中实数x的取值范围是．

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15. 防蝇罩是我国南方城市家庭中普遍使用的餐桌用品，可以使饭菜不受苍蝇的污染，某家庭预计购买一个防蝇罩，要求防蝇罩可以将摆放在桌面上四只等大的、直径为12cm的碗（防蝇罩与碗皆可视为半球且厚度忽略不计）完全罩住，则所选防蝇罩的半径至少为cm．（结果取整数）

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16. (2022·南京模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C₁与双曲线C₂共焦点，双曲线C₂实轴的两顶点将椭圆C₁的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C₂的离心率为．

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三、解答题

17. 某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目.比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球(机会均等)，此后均由每个球的赢球者发下一个球.对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分；有一人得6分及以上或是两人分差达3分时比赛均结束，得分高者获胜.已知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是0.5，各球结果相互独立.
1. （1）假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率；
2. （2）在某局3∶3平后，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期望.
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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 是等比数列；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和．
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19. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 时，试判断函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是单调函数，求ab的最小值．
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20. 如图，曲线 $\text{[math]}$ 是以原点 $\text{[math]}$ 为中心、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为焦点的椭圆的一部分，曲线 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为顶点、 $\text{[math]}$ 为焦点的抛物线的一部分， $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的交点且 $\text{[math]}$ 为钝角，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过 $\text{[math]}$ 作一条与 $\text{[math]}$ 轴不垂直的直线，分别与曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 依次交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，问 $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
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21. 已知曲线 $\text{[math]}$ 经过变换 $\text{[math]}$ 得到曲线 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）写出曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程，曲线 $\text{[math]}$ 的普通方程；
2. （2）已知直线 $\text{[math]}$ 分别与曲线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于A、B两点，直线 $\text{[math]}$ 分别与曲线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于C、D两点，求四边形ABCD的面积．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， M为不等式 $\text{[math]}$ 的解集．
1. （1）求M；
2. （2）若a， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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