广东省汕头市2022届高三数学三模试卷

更新时间：2022-06-27 浏览次数：79 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知全集为R， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . -1 D . 0

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2. 2022年北京冬季奥运会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（）

A . 36 B . 24 C . 18 D . 42

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3. 在△ABC中， $\text{[math]}$ ，则△ABC的形状一定是（）

A . 直角三角形 B . 等腰三角形 C . 等边三角形 D . 等腰直角三角形

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4. 已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 5 D . $\text{[math]}$

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5. 下列说法错误的是（）

A . 命题“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”的否定是“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ” B . 在△ABC中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的充要条件 C . 若a，b， $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”的充要条件是“ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ” D . “若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ”是真命题

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6. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. $\text{[math]}$ 的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若关于x的方程 $\text{[math]}$ 有四个不同的实根，则实数k的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 已知复数 $\text{[math]}$ 对应的向量为 $\text{[math]}$ ，复数 $\text{[math]}$ 对应的向量为 $\text{[math]}$ ，下列说法中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在复平面上对应的点关于实轴对称，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. 关于曲线C： $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . 曲线C一定不过点 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，过原点与曲线C相切的直线有两条 C . 若 $\text{[math]}$ ，曲线C表示两条直线 D . 若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 被曲线C截得弦长等于 $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ ，使得对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递增 B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有且仅有1个零点 D . 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调，则 $\text{[math]}$

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12. 意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列 $\text{[math]}$ 说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 是奇数 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线为l，若l与函数 $\text{[math]}$ 相切，切点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆E： $\text{[math]}$ 上，若正方形ABCD的一条边经过椭圆E的焦点F，则E的离心率是．

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15. 某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分布 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为分（结果保留1位小数）
附：若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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16. 如图，DE是边长为 $\text{[math]}$ 的正三角形ABC的一条中位线，将△ADE沿DE翻折至 $\text{[math]}$ ，当三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大时，四棱锥 $\text{[math]}$ 外接球O的表面积为；过EC的中点M作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是．

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四、解答题

17. 已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，BD为∠ABC的角平分线．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求△ABC的面积．
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18. 目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐，在党中央的正确领导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制．其中，各大药物企业积极投身到新药的研发中．汕头某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实验，结果显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系．刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓．根据志愿者的临床试验情况，得到了一组数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 2，3，4，5，…，10， $\text{[math]}$ 表示连续用药i天， $\text{[math]}$ 表示相应的临床疗效评价指标A的数值．该药企为了进一步研究药物的临床效果，建立了y关于x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程： $\text{[math]}$ ；
模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线： $\text{[math]}$ 的附近，令 $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
附：样本 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， 2，…，n）的最小二乘估计公式为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；相关指数 $\text{[math]}$ ，参考数据： $\text{[math]}$ ．
1. （1）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程；
2. （2）根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠．
3. （3）根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月的变化情况（一个月以30天计，结果保留两位小数）．
  回归模型
  模型①
  模型②
  残差平方和 $\text{[math]}$
  102.28
  36.19
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19. 已知各项均为正数的数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 且满足 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间依次插入数列 $\text{[math]}$ 中的k项构成新数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ……，求数列 $\text{[math]}$ 中前50项的和 $\text{[math]}$ ．
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20. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，上、下顶点分别为A，B，四边形 $\text{[math]}$ 的面积和周长分别为 $\text{[math]}$ 和8，椭圆的短轴长大于焦距．
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）点P为椭圆C上的动点（不是顶点），点P与点M关于原点对称，过M作直线垂直于x轴，垂足为E．连接PE并延长交椭圆C于点Q，则直线MP的斜率与直线MQ的斜率的乘积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
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21. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，四边形ABCD为菱形， $\text{[math]}$ ， E，F分别是PA，PD的中点，过E，F作平面 $\text{[math]}$ 交线段PB，PC分别于点G，H，且 $\text{[math]}$
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若PD⊥平面ABCD，且二面角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求t的值．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的极值；
2. （2）证明：函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 有且只有两个零点．
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