内蒙古包头市2022届高三理数第二次模拟考试试卷

更新时间：2022-05-12 浏览次数：64 类型：高考模拟

一、单选题

1. 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知i为虚数单位，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 $\text{[math]}$ ，其中星等为 $\text{[math]}$ 的星的亮度为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．已知星 $\text{[math]}$ 的星等是-3.5，星 $\text{[math]}$ 的星等是-1.5，则星 $\text{[math]}$ 与星 $\text{[math]}$ 的亮度的比值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的体积为（）

A . 8 B . $\text{[math]}$ C . 12 D . $\text{[math]}$

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5. 设 $\text{[math]}$ ，随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列如下表：
$\text{[math]}$
0
1
2
P
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
当a在 $\text{[math]}$ 内增大时，则（）

A . $\text{[math]}$ 减小 B . $\text{[math]}$ 增大 C . $\text{[math]}$ 先减小后增大 D . $\text{[math]}$ 先增大后减小

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6. 等差数列 $\text{[math]}$ 的公差为d，前n项和为 $\text{[math]}$ ，设甲： $\text{[math]}$ ；乙： $\text{[math]}$ 是递减数列，则（）

A . 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B . 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C . 甲是乙的充要条件 D . 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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7. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，需要在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD=50 $\text{[math]}$ ， ∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，则A，B两点的距离为（）

A . $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

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9. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的两个焦点，R是C上的一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， C经过点 $\text{[math]}$ ，则C的实轴长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 6 D . 3

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10. 将4个A和2个B随机排成一行，则2个B相邻且不排在两端的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知A，B，C，D是半径为R的球O的球面上的四个点，△ABC为等边三角形且它的外接圆 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值为 $\text{[math]}$ ，则R的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 6

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12. 设函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为奇函数， $\text{[math]}$ 为偶函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 已知非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为45°，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为.

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15. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，斜率为-1的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的方程为．

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，则满足条件 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的最小正偶数x为.

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三、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 的各项均为互不相等的正数，且 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立．
①数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；②数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；③ $\text{[math]}$
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

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18. 为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取100名学生，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为6组： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得到如图所示的频率分布直方图．
参考公式及数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$\text{[math]}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
1. （1）估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并估计这100名学生成绩的中位数（精确到0.01）；
2. （2）在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于80分为“优秀”，竞赛成绩低于80分为“非优秀”．
  ①请将下面的 $\text{[math]}$ 列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？
  ②求出等高条形图需要的数据，并画出等高条形图（按图中“优秀”和“非优秀”所对应阴影线画），利用条形图判断竞赛成绩优秀与性别是否有关系？
  $\text{[math]}$ 列联表
  
  优秀
  非优秀
  合计
  男生
  10
  女生
  50
  合计
  100
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19. 已知直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为正方形. $\text{[math]}$ ， D，E分别为AC和 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， F为棱 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 为何值时，平面 $\text{[math]}$ 与平面DEF所成的二面角的正弦值最小？
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20. 设 $\text{[math]}$ 为坐标原点，动点 $\text{[math]}$ 在椭圆C： $\text{[math]}$ 上，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 为何值时，点 $\text{[math]}$ 的轨迹为圆，并求出该圆的方程；
2. （2）当点 $\text{[math]}$ 的轨迹为圆时，设点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，证明：过点 $\text{[math]}$ 且垂直于 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 的右焦点 $\text{[math]}$ ．
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21. 已知m>0且m≠1，函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当m=2时，求 $\text{[math]}$ 的极值点；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，若曲线 $\text{[math]}$ 与直线y=1有且仅有1个交点，求m的取值范围.
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22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）．以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，曲线 $\text{[math]}$ 是什么曲线？并求 $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的公共点的直角坐标．
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23. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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