北京东城区2022届高三数学一模试卷

更新时间：2022-04-20 浏览次数：125 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 下列函数中，定义域与值域均为R的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . 2 B . －2 C . 1 D . －1

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4. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是（）

A . 公差为2的等差数列 B . 公差为3的等差数列 C . 公比为2的等比数列 D . 公比为3的等比数列

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5. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首.北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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9. 在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴和 $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 变化时，点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过 $\text{[math]}$ 天后，用户人数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（）（本题取 $\text{[math]}$ ）

A . 31 B . 32 C . 33 D . 34

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二、填空题

11. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，常数项为.（用数字作答）

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12. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在正方形网格中的位置如图所示.若网格上小正方形的边长为1，则 $\text{[math]}$ .

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13. 某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示，线段 $\text{[math]}$ 表示角楼的高， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为三个可供选择的测量点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一水平面内， $\text{[math]}$ 与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六组几何量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为.（只需写出一种方案）
① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间的距离；
② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点间的距离；
③由点 $\text{[math]}$ 观察点 $\text{[math]}$ 的仰角 $\text{[math]}$ ；
④由点 $\text{[math]}$ 观察点 $\text{[math]}$ 的仰角 $\text{[math]}$ ；
⑤ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ；
⑥ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .

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14. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的焦点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列，则 $\text{[math]}$ .

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为；若 $\text{[math]}$ 恰有两个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为.

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三、解答题

16. 已知函数 $\text{[math]}$ .从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数 $\text{[math]}$ 存在且唯一确定．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调递增区间.
  条件①： $\text{[math]}$ ；
  条件②： $\text{[math]}$ 为偶函数；
  条件③： $\text{[math]}$ 的最大值为1；
  条件④： $\text{[math]}$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\text{[math]}$ ．
  注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
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17. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.
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18. 根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示：

受教育程度性别	未上学	小学	初中	高中	大学专科	大学本科	硕士研究生	博士研究生
男	0.00	0.03	0.14	0.11	0.07	0.11	0.03	0.01
女	0.01	0.04	0.11	0.11	0.08	0.12	0.03	0.00
合计	0.01	0.07	0.25	0.22	0.15	0.23	0.06	0.01

（1）已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率；
（2）从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为 $\text{[math]}$ 年和 $\text{[math]}$ 年，依据表中的数据直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小关系.（结论不要求证明）

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19. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线斜率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有最大值，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，焦距为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.是否存在常数 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间，且总有 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由.
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21. 设数列 $\text{[math]}$ .如果 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则称数列A具有性质 $\text{[math]}$ .对于具有性质 $\text{[math]}$ 的数列A，定义数列 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）对 $\text{[math]}$ ，写出所有具有性质 $\text{[math]}$ 的数列A；
2. （2）对数列 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，证明：存在具有性质 $\text{[math]}$ 的数列A，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 为同一个数列；
3. （3）对具有性质 $\text{[math]}$ 的数列A，若 $\text{[math]}$ 且数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，证明：这样的数列A有偶数个.
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