广东省清远市2022届高三上学期数学期末考试试卷

更新时间：2022-01-28 浏览次数：96 类型：期末考试

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知i为虚数单位，复数z的共轭复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 若椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为6，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . 13 B . 40 C . 5 D . $\text{[math]}$

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4. 直线 $\text{[math]}$ 被圆 $\text{[math]}$ 截得的最短弦长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果的新鲜度F与其采摘后时间t（天）近似满足的函数关系式为 $\text{[math]}$ ，若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．若要这种水果的新鲜度不能低于60%，则采摘下来的这种水果最多可以保存的天数为（）

A . 30 B . 35 C . 40 D . 45

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7. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将1到2021这2021个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为（）

A . 58 B . 59 C . 60 D . 61

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8. 已知P是边长为4的正三角形 $\text{[math]}$ 所在平面内一点，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 16 B . 12 C . 5 D . 4

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二、多选题

9. 某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在 $\text{[math]}$ 内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示（按得分分成 $\text{[math]}$ 这五组），则下列结论正确的是（）

A . 直方图中 $\text{[math]}$ B . 此次比赛得分不及格的共有40人 C . 以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在 $\text{[math]}$ 的概率为0.5 D . 这100名参赛者得分的中位数为65

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10. 将函数 $\text{[math]}$ 图象上所有的点向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，若函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 C . $\text{[math]}$ 的最小正周期是 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的单调递增区间是 $\text{[math]}$

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11. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，点P是双曲线C上位于第一象限的点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的角平分线的垂线，垂足为A，若O为坐标原点， $\text{[math]}$ ，则（）

A . 双曲线C的渐近线方程为 $\text{[math]}$ B . 双曲线C的渐近线方程为 $\text{[math]}$ C . 双曲线C的离心率为 $\text{[math]}$ D . 双曲线C的离心率为 $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若方程 $\text{[math]}$ 恰有三个不同的实数根，则实数a的取值可能是（）

A . -5 B . -4 C . -3 D . -2

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三、填空题

13. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 已知曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将3名医生和6名护士分配到3所学校，设立疫苗接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和2名护土，则不同的分配方法共有种．

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16. 如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， P为 $\text{[math]}$ 的中点，过 $\text{[math]}$ 的平面 $\text{[math]}$ 分别与棱 $\text{[math]}$ 交于点E，F，且 $\text{[math]}$ ，则平面 $\text{[math]}$ 截长方体所得上下两部分的体积比值为；所得的截面四边形 $\text{[math]}$ 的面积为．

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四、解答题

17. 在平面四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的面积．
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18. 某市为积极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对抗疫进行了深入的宣传，帮助全体市民深入了解新型冠状病毒，增强战胜疫情的信心．为了检验大家对新型冠状病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关的问卷调查，随机抽取了年龄在18～99岁之间的200人进行调查，把年龄在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 内的人分别称为“青年人”和“中老年人”．经统计，“青年人”和“中老年人”的人数之比为2∶3，其中“青年人”中有50%的人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和了解不全面的人数之比是2∶1．
附表及公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
1. （1）根据已知条件，完成下面的 $\text{[math]}$ 列联表，并根据统计结果判断是否有95%的把握认为“中老年人”比“青年人”更加了解防控的相关知识．
  
  了解全面
  了解不全面
  合计
  青年人
  中老年人
  合计
2. （2）用频率估计概率从该市18～99岁市民中随机抽取3位市民，记抽出的市民对防控相关知识了解全面的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．
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19. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，从下面①②③中选择两个作为条件，证明另外一个成立．
① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ ．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

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20. 已知正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D，E，F分别为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．
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21. 设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，准线为l，过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，若 $\text{[math]}$ 的中点到准线l的距离为4．
1. （1）求抛物线C的方程；
2. （2）设P为l上任意一点，过点P作C的切线，切点为Q，试判断F是否在以 $\text{[math]}$ 为直径的圆上．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的零点个数．
2. （2）若 $\text{[math]}$ 有两个不同的零点 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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