北京市昌平区2022届高三上学期数学期末质量抽测试卷

更新时间：2022-01-28 浏览次数：87 类型：期末考试

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021高一下·丹东期末) 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 已知 $\text{[math]}$ ，那么 “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 到抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点的距离为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离为（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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5. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为（）

A . -10 B . -5 C . 5 D . 10

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6. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，过点A且与直线 $\text{[math]}$ 垂直的所有面对角线的条数为（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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7. 已知函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内单调递增 B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内单调递减 C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内单调递增 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内单调递减

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8. 在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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9. 算盘是中国传统的计算工具．东汉徐岳所撰的《数术记遗》中记载：“珠算，控带四时，经纬三才．”用如图所示的算盘表示数时，约定每档中有两粒算珠（上珠中最上面的一粒和下珠中最下面的一粒）不使用. 如果一个数在算盘上能够用个位、十位和百位这三档中的2粒算珠表示，则这个数能够被3整除的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 若函数 $\text{[math]}$ 恰有两个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

11. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一个焦点的坐标是 $\text{[math]}$ ，则此双曲线的离心率为.

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12. 若函数 $\text{[math]}$ ，对任意的 $\text{[math]}$ 都满足 $\text{[math]}$ ，则常数 $\text{[math]}$ 的一个取值为.

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13. 在参加综合实践活动时，某同学想利用3D打印技术制作一个的容器：容器上部为圆锥形，底面直径为 $\text{[math]}$ ；下部为圆柱形，底面直径和高均为 $\text{[math]}$ （如图所示）. 他希望当如图放置的容器内液体高度为 $\text{[math]}$ 时，把容器倒置后，液体恰好充满整个圆锥形部分，则圆锥形部分的高度设计为 $\text{[math]}$ .

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14. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在正方形网格中的位置如图所示. 若网格纸上小正方形的边长为1，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ .

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15. 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项乘积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则
①数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ；
②满足 $\text{[math]}$ 的最大正整数 $\text{[math]}$ 的值为．

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三、解答题

16. 在△ $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .
1. （1）求A；
2. （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，求BC 边上高线的长．
  条件①： $\text{[math]}$ ；
  条件②： $\text{[math]}$ .
  注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
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17. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面是直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上一点，且直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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18. 随着北京2022冬奥会的临近，冰雪运动在全国各地蓬勃开展. 某地为深入了解学生参与“自由式滑雪”、“单板滑雪”两项运动的情况，在该地随机抽取了10所学校进行调研，得到数据如下：
1. （1）从这10所学校中随机选取1所学校，求这所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人的概率；
2. （2）规定“单板滑雪”的参与人数超过45人的学校作为“基地学校”.
  （i）现在从这10所学校中随机选取3所，记 $\text{[math]}$ 为其中的“基地学校”的个数，求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；
  （ii）为提高学生“单板滑雪”水平，某“基地学校”针对“单板滑雪”的4个基本动作进行集训并考核.要求4个基本动作中至少有3个动作达到“优秀”，则考核为“优秀”.已知某同学参训前，4个基本动作中每个动作达到“优秀”的概率均为0.2，参训后该同学考核为“优秀”. 能否认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化？并说明理由.
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19. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）曲线 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 的上方，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若过点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 分别交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .求证：线段 $\text{[math]}$ 的中点为定点.
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21. 已知等差数列 $\text{[math]}$ ，若存在有穷等比数列 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ 的“等比伴随数列”．
1. （1）数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，写出数列 $\text{[math]}$ 的一个长度为 $\text{[math]}$ 的“等比伴随数列”；
2. （2）等差数列 $\text{[math]}$ 的公差为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 存在长度为 $\text{[math]}$ 的“等比伴随数列” $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
3. （3）数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ 的“等比伴随数列”，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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