北京市西城区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

更新时间：2022-03-16 浏览次数：100 类型：期末考试

一、单选题

1. 已知直线 $\text{[math]}$ 的一个方向向量为 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 在空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 坐标平面的对称点为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点坐标为 $\text{[math]}$ ，则其准线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 圆 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 的位置关系为（）

A . 外离 B . 外切 C . 相交 D . 内切

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5. (2021高三上·通州期中) 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为（）

A . 5 B . -5 C . 10 D . -10

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6. 在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小为（）

A . 30º B . 45º C . 60º D . 90º

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7. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，双曲线 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的焦距之比为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 将4名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球3个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A . 48种 B . 36种 C . 24种 D . 12种

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9. 设抛物线的顶点为原点，焦点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，过 $\text{[math]}$ 的直线交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，则以 $\text{[math]}$ 为直径的圆（）

A . 必过原点 B . 必与 $\text{[math]}$ 轴相切 C . 必与 $\text{[math]}$ 轴相切 D . 必与抛物线的准线相切

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10. 如图，某市规划在两条道路边沿 $\text{[math]}$ 之间建造一个半椭圆形状的主题公园，其中 $\text{[math]}$ 为椭圆的短轴， $\text{[math]}$ 为椭圆的半长轴.已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .为使 $\text{[math]}$ 尽可能大，其取值应为（）（精确到 $\text{[math]}$ ）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

11. 圆心为 $\text{[math]}$ 且过原点的圆的方程是.

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12. 已知直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ .

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13. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，过 $\text{[math]}$ 的平面分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .给出下列四个结论：
①四边形 $\text{[math]}$ 一定是平行四边形；
②四边形 $\text{[math]}$ 可能是正方形；
③四边形 $\text{[math]}$ 为菱形时，其面积最小；
④四边形 $\text{[math]}$ 为矩形时，其面积最大.
其中所有正确结论的序号是.

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14. 在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小为；直线 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为.

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15. 设双曲线 $\text{[math]}$ 的两个焦点是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在双曲线上，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ 为锐角，则点 $\text{[math]}$ 的纵坐标的取值范围是.

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三、解答题

16. 从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动.
1. （1）共有多少种不同的选择方法？
2. （2）如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？
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17. 如图，在长方体 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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18. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的一个顶点为 $\text{[math]}$ ，且离心率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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19. 设 $\text{[math]}$ 为两定点， $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 是到点 $\text{[math]}$ 的距离与到点 $\text{[math]}$ 的距离之比为定值 $\text{[math]}$ 的点组成的集合.
1. （1）判断 $\text{[math]}$ 的中点是否在曲线 $\text{[math]}$ 上；
2. （2）建立适当的平面直角坐标系，求曲线 $\text{[math]}$ 的方程，并讨论曲线 $\text{[math]}$ 的形状.
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20. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知两点 $\text{[math]}$ .记直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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