北京市东城区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

更新时间：2022-03-15 浏览次数：79 类型：期末考试

一、单选题

1. 下列直线中，倾斜角为锐角的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ 为等差数列，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 12 B . 9 C . 6 D . 3

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3. 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 到准线 $\text{[math]}$ 的距离为（）

A . 16 B . 8 C . 4 D . 2

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4. 已知平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的法向量分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . -3 D . -5

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5. 已知 $\text{[math]}$ 的三个顶点是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则边 $\text{[math]}$ 上的高所在的直线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中，最大的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别在棱 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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8. “ $\text{[math]}$ ”是“圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相切”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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9. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为平面直角坐标系平面内一点，若线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 与原点 $\text{[math]}$ 间的距离的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 3

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10. 均匀压缩是物理学一种常见现象.在平面直角坐标系中曲线的均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述.设曲线 $\text{[math]}$ 上任意一点 $\text{[math]}$ ，若将曲线 $\text{[math]}$ 纵向均匀压缩至原来的一半，则点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ .同理，若将曲线 $\text{[math]}$ 横向均匀压缩至原来的一半，则曲线 $\text{[math]}$ 上点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ .若将单位圆 $\text{[math]}$ 先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的 $\text{[math]}$ ，得到的曲线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

11. 若过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的直线与直线 $\text{[math]}$ 平行，则 $\text{[math]}$ ．

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12. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. 已知点 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点，则点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为.

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14. 1970年4月我国成功发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”，这颗卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知卫星的近地点（离地面最近的点）距地面的高度约为 $\text{[math]}$ ，远地点（离地面最远的点）距地面的高度约为 $\text{[math]}$ ，且地心、近地点、远地点三点在同一直线上，地球半径约为 $\text{[math]}$ ，则卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为 $\text{[math]}$ ．

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15. 写出一个离心率 $\text{[math]}$ 且焦点在 $\text{[math]}$ 轴上的双曲线的标准方程，并写出该双曲线的渐近线方程．

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16. 如图，在棱长都为 $\text{[math]}$ 的平行六面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两夹角均为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线 $\text{[math]}$ 垂直. 这三个顶点可以是．

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三、解答题

17. 已知圆 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求圆 $\text{[math]}$ 的圆心及半径；
2. （2）是否存在直线 $\text{[math]}$ 满足：经过点 $\text{[math]}$ ，且 _______？如果存在，求出直线 $\text{[math]}$ 的方程；如果不存在，请说明理由．
  从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
  
  条件①：被圆 $\text{[math]}$ 所截得的弦长最长；
  
  条件②：被圆 $\text{[math]}$ 所截得的弦长最短；
  
  条件③：被圆 $\text{[math]}$ 所截得的弦长为8．
  
  注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
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18. 某学校一航模小组进行飞机模型飞行高度实验，飞机模型在第一分钟时间内上升了10米高度．若通过动力控制系统，可使飞机模型在以后的每一分钟上升的高度都是它在前一分钟上升高度的75%．
1. （1）在此动力控制系统下，该飞机模型在第三分钟内上升的高度是多少米？
2. （2）这个飞机模型上升的最大高度能超过50米吗？如果能，求出从第几分钟开始高度超过50米；如果不能，请说明理由．
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19. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，平面 $\text{[math]}$ 棱 $\text{[math]}$ ．
1. （1）试确定 $\text{[math]}$ 的值，并证明你的结论；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且离心率 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点，点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交椭圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．
  ①若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
  ②求 $\text{[math]}$ 的值．
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21. 设等差数列 $\text{[math]}$ 的各项均为整数，且满足对任意正整数 $\text{[math]}$ ，总存在正整数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称这样的数列 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是否具有性质 $\text{[math]}$ ？并说明理由；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求出具有性质 $\text{[math]}$ 的数列 $\text{[math]}$ 公差的所有可能值；
3. （3）对于给定的 $\text{[math]}$ ，具有性质 $\text{[math]}$ 的数列 $\text{[math]}$ 是有限个，还是可以无穷多个？(直接写出结论)
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