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天津市河北区2021-2022学年高二上学期数学期中考试试卷

更新时间：2022-01-05 浏览次数：109 类型：期中考试

一、单选题

1. (2019高二下·青浦期末) 直线 $\text{[math]}$ 的一个方向向量是（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知圆的方程为 $\text{[math]}$ ，那么圆心坐标和半径分别为（）

A . $\text{[math]}$ ，9 B . $\text{[math]}$ ，3 C . $\text{[math]}$ ，3 D . $\text{[math]}$ ，9

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3. 如图所示，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，若 $\text{[math]}$ ，则下列向量中与 $\text{[math]}$ 相等的向量是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 空间两点A，B的坐标分别为(a，b，c)，(-a，-b，c)，则A，B两点的位置关系是（）

A . 关于x轴对称 B . 关于y轴对称 C . 关于z轴对称 D . 关于原点对称

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5. △ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），则边BC上的高所在直线的方程为（）

A . 5x＋y﹣20＝0 B . 3x＋2y﹣12＝0 C . 3x＋2y﹣19＝0 D . 3x﹣2y﹣12＝0

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6. 已知两条直线l₁：x＋2y﹣4＝0，l₂：2x＋4y＋7＝0，则直线l₁与直线l₂间的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 直线y=x与圆x²+(y+3)²=4的位置关系是（）

A . 相离 B . 相切 C . 相交且直线过圆心 D . 相交但直线不过圆心

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8. (2021高二上·薛城期中) 已知直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行，则实数 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . 1 B . -2 C . 1或-2 D . 不存在

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9. 下列四个命题中，正确命题的个数是（）
①若 $\text{[math]}$ 是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得 $\text{[math]}$ ；

②若两条不同直线l，m的方向向量分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则l∥m $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

③若 $\text{[math]}$ 是空间的一个基底，且 $\text{[math]}$ ，则A，B，C，D四点共面；

④若两个不同平面α，β的法向量分别是 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则α∥β．

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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10. 如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB＝2，以B为原点，分别以 $\text{[math]}$ 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为 $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . 点P的坐标为（0，0，2） B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

11. (2020高一下·无锡期中) 直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为．

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12. 在长方体OABC﹣O₁A₁B₁C₁中，OA＝2，OC＝2，OO₁＝1，以O为原点，OA，OC，OO₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点B₁的坐标为．

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13. 直线l：3x﹣y﹣6＝0被圆C： $\text{[math]}$ 截得的弦AB的长是．

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14. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足 $\text{[math]}$ ，则点P所构成的曲线C的方程为．

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15. 已知空间向量 $\text{[math]}$ ＝（1，0，1）， $\text{[math]}$ ＝（1，1，2），则 $\text{[math]}$ 的值为，向量 $\text{[math]}$ 的夹角为．

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三、解答题

16. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，且AB＝2AD＝2，PA＝2，∠PAB＝∠PAD＝60°．
1. （1）求PC的长；
2. （2）求异面直线PC与BD所成角的余弦值．
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17. 已知两圆C₁：x²＋y²﹣2x﹣6y﹣1＝0，C₂：x²＋y²﹣10x﹣12y＋45＝0．
1. （1）求证：圆C₁和圆C₂相交；
2. （2）求圆C₁和圆C₂的公共弦所在直线方程和公共弦长．
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18. 如图，正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E为BA₁的中点，F为CC₁的中点．
1. （1）求证：EF∥平面ABCD；
2. （2）求直线EF与平面ABB₁A₁所成角的正弦值；
3. （3）求点B到平面A₁CD的距离．
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19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，△PCD是边长为2的等边三角形，底面ABCD是矩形，BC＝2 $\text{[math]}$ ，M为BC的中点．
1. （1）求证：AM⊥PM；
2. （2）求平面AMP与平面AMD的夹角的大小；
3. （3）求点D到平面AMP的距离．
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