浙江省湖州市三贤联盟2021-2022学年高二上学期数学期中...

更新时间：2021-11-30 浏览次数：127 类型：期中考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；

1. 在空间坐标系中，点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 的斜率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互相垂直，则k＝（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. “ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ”是“方程 $\text{[math]}$ 表示椭圆”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分又不必要条件

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5. 已知直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ =2上，则 $\text{[math]}$ 面积的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，若椭圆上存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则该离心率 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图，某市有相交于点 $\text{[math]}$ 的一条东西走向的公路 $\text{[math]}$ 与一条南北走向的公路 $\text{[math]}$ ，有一商城 $\text{[math]}$ 的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1（单位：千米）．根据市民建议，欲新建一条公路 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在公路 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且要求 $\text{[math]}$ 与椭圆形商城 $\text{[math]}$ 相切，当公路 $\text{[math]}$ 长最短时， $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 两两垂直且相等，若空间中动一点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ .记 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

9. 已知直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且直线 $\text{[math]}$ 的一个方向向量为 $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上的截距为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的倾斜角等于120º C . $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直 D . 向量 $\text{[math]}$ 为直线的一个法向量

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10. 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，下面说法正确的有（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 的斜率为定值 B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 的最小值为1时， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 恰有一个交点，实数 $\text{[math]}$ 可取下列哪些值（）

A . $\text{[math]}$ B . -1 C . 1 D . $\text{[math]}$

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12. 在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的周长为定值 B . 当 $\text{[math]}$ 时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值 C . 当 $\text{[math]}$ 时，有且仅有一个点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，有且仅有一个点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共面，则实数 $\text{[math]}$ ＝.

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14. 过点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线，则切线的方程为.

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15. 经过椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点 $\text{[math]}$ 作倾斜角为60º的直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆相交于 $\text{[math]}$ 两点，则线段 $\text{[math]}$ 的长为．

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16. 舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图， $\text{[math]}$ 是滑槽 $\text{[math]}$ 的中点，短杆 $\text{[math]}$ 可绕 $\text{[math]}$ 转动，长杆 $\text{[math]}$ 通过 $\text{[math]}$ 处的铰链与 $\text{[math]}$ 连接， $\text{[math]}$ 上的栓子 $\text{[math]}$ 可沿滑槽 $\text{[math]}$ 滑动.当点 $\text{[math]}$ 在滑槽 $\text{[math]}$ 内作往复移动时，带动点 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 转动，点 $\text{[math]}$ 也随之而运动.记点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 作切线，则切线长的最大值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分.

17. 如图，在平行六面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

求：(Ⅰ) $\text{[math]}$ ；

(Ⅱ) $\text{[math]}$ 的长.

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18. 已知直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）当 $\text{[math]}$ 在两坐标轴上的截距相等时，求 $\text{[math]}$ 的方程；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴的正半轴分别相交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，当三角形 $\text{[math]}$ 的面积最小时，求 $\text{[math]}$ 的方程.

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19. 如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成．已知隧道总宽度 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，行车道总宽度 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，侧墙高 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，弧顶高 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ .

(Ⅰ)以 $\text{[math]}$ 所在直线为 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 所在直线为 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；

(Ⅱ)为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部(设为平顶)在竖直方向上的高度之差至少为 $\text{[math]}$ ，问车辆通过隧道的限制高度是多少？

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20. 已知直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ ，E ， F分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点，D为棱 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）证明： $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）当 $\text{[math]}$ 为何值时，面 $\text{[math]}$ 与面 $\text{[math]}$ 所成的二面角的正弦值最小?

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21. 已知两个定点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，设动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求曲线 $\text{[math]}$ 的轨迹方程；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，过 $\text{[math]}$ 作曲线 $\text{[math]}$ 的两条切线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，切点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，探究：直线 $\text{[math]}$ 是否过定点，若有，请求出定点，否则说明理由．

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22. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，过椭圆 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
右焦点的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（Ⅱ）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的两点，若四边形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值.

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