辽宁省丹东市2020-2021学年高二上学期数学期末考试试卷

更新时间：2021-12-22 浏览次数：98 类型：期末考试

一、单选题

1. 经过点 $\text{[math]}$ 且平行于直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的直线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 5名同学报名参加4个活动小组，每人限报1个活动小组，不同的报名方法种数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 如图，从某个角度观看篮球，可以得到一个对称的平面图形如下图，篮球的外轮廓为圆 $\text{[math]}$ ，将篮球表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆 $\text{[math]}$ 的交点将圆的周长八等分，且 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的两个焦点，过 $\text{[math]}$ 的直线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 中心在坐标原点，焦点在 $\text{[math]}$ 轴上的双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 使得 $\text{[math]}$ 的展开式中含有常数项的最小正整数 $\text{[math]}$ 为（）

A . 2 B . 4 C . 5 D . 6

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7. 圆 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相外切，与圆 $\text{[math]}$ 相内切，则圆 $\text{[math]}$ 的圆心在（）

A . 一个椭圆上 B . 双曲线的一支上 C . 一条抛物线上 D . 一个圆上

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8. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为二面角 $\text{[math]}$ 棱 $\text{[math]}$ 上不同两点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在半平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 内， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，则二面角 $\text{[math]}$ 的大小为（）

A . 30º B . 60º C . 120º D . 150º

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二、多选题

9. 若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中的最大值

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10. 已知曲线 $\text{[math]}$ ，（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 表示椭圆 B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 表示椭圆 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 表示双曲线 D . 若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的焦距为4

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11. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的安排方法种数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 的直角边 $\text{[math]}$ 所在直线与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都垂直，斜边 $\text{[math]}$ 以直线 $\text{[math]}$ 为旋转轴旋转，则（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的最小值为 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的最大值为 $\text{[math]}$ C . 当直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 成 $\text{[math]}$ 角时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 成 $\text{[math]}$ 角 D . 当直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 成 $\text{[math]}$ 角时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 成 $\text{[math]}$ 角

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三、填空题

13. 已知 $\text{[math]}$ 为平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 的一个方向向量，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为．

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16. 有6个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有种(用数字作答).

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四、解答题

17. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ 这两个条件中任一个，补充在下面的横线上，并作答.若 ▲ ，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角.
  注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
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18. 如图，已知台风中心从 $\text{[math]}$ 地以每小时 $\text{[math]}$ km的速度向东北方向移动， $\text{[math]}$ 小时后到达 $\text{[math]}$ 地，距离台风台风中心不超过 $\text{[math]}$ km的地区为危险区域.设直线型高速公路 $\text{[math]}$ 与正东方向夹角为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，且经过 $\text{[math]}$ 地正东40km处的点 $\text{[math]}$ .
1. （1）在平面直角坐标 $\text{[math]}$ 系内，写出直线 $\text{[math]}$ 的方程，写出在 $\text{[math]}$ 时刻台风危险区域边界轨迹 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）计算高速公路 $\text{[math]}$ 处于危险区域内的时间长.
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19. 在平行六面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）对于空间向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，定义运算： $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 的绝对值等于平行六面体 $\text{[math]}$ 的体积.
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20. 世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”-500m 口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面(抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面)，其边缘距离底部的落差约为156.25米，是由我国天文学家南仁东先生于1994年提出构想，历时22年建成，于2016年9月25日落成启用，2020年1月11日，“中国天眼”通过国家验收，投入正式运行，截至2020年11月，“中国天眼”发现脉冲星数量超过240颗.它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线 $\text{[math]}$ 的一部分，放入如图所示的平面直角坐标系内.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）一束平行于 $\text{[math]}$ 轴的脉冲信号射到 $\text{[math]}$ 上的 $\text{[math]}$ 点，反射信号经过 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 后，再由 $\text{[math]}$ 上点 $\text{[math]}$ 反射出平行脉冲信号，试确定点 $\text{[math]}$ 的坐标，使得从入射点 $\text{[math]}$ 到反射点 $\text{[math]}$ 的路程最短.
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21. 如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角；
2. （2）在线段 $\text{[math]}$ 是否存在点 $\text{[math]}$ ，使平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ?若存在，求 $\text{[math]}$ 的值，若不存在，说明理由.
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22. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 不经过 $\text{[math]}$ 点且与 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，若以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆经过 $\text{[math]}$ 点，证明： $\text{[math]}$ 过定点.
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