广东省广州市荔湾区2020-2021学年高二上学期数学期末考...

更新时间：2021-12-28 浏览次数：95 类型：期末考试

一、单选题

1. 若 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 等差数列 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 54 B . 12 C . 10 D . 6

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3. 已知向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 平行，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . -3 D . 3

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4. 等比数列{a_n中，首项为a₁ ，公比为q，则a₁＞0且0＜q＜1是数列{a_n单调递减的（）

A . 充分但不必要条件 B . 必要但不充分条件 C . 充要条件 D . 既非充分也非必要条件

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5. 某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益．如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（）万元．（参考数据： $\text{[math]}$ ）

A . 5.3 B . 4.6 C . 7.8 D . 6

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6. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 有相同的焦点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为双曲线与椭圆的一个交点，且满足 $\text{[math]}$ ，则双曲线的渐近线方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作一条渐近线的垂线，垂足为点 $\text{[math]}$ ，与另一渐近线交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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二、多选题

9. 以下四个命题中，真命题的是（）

A . “若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ”的否命题是“若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ” B . 若 $\text{[math]}$ ，则方程 $\text{[math]}$ 有实数根 C . 若 $\text{[math]}$ 为真命题， $\text{[math]}$ 为真命题，则 $\text{[math]}$ 是真命题 D . “ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的充分而不必要条件

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10. 已知三棱锥 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列等式成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，经过 $\text{[math]}$ 的直线交抛物线于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ ，则以下四个结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 设 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，且 $\text{[math]}$ ，若数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则以下说法正确的是（）

A . 数列 $\text{[math]}$ 是等比数列 B . 数列 $\text{[math]}$ 是递增数列 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 命题“对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ”的否定为．

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14. 已知关于 $\text{[math]}$ 的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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15. 如图，已知正三棱柱 $\text{[math]}$ 的各条棱长均为2， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值等于．

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16. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 $\text{[math]}$ ，深为 $\text{[math]}$ ．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，则建造这个水池的最低总造价是元．

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四、解答题

17. 已知集合 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求集合 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的_________条件，试判断实数 $\text{[math]}$ 是否存在，若存在，求出 $\text{[math]}$ 的取值范围；若不存在，说明理由．
  请在：①充要条件，②充分不必要条件，③必要不充分条件，这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，并解决问题（2）．
  
  注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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18. 经过点 $\text{[math]}$ 且倾斜角为45°的直线与抛物线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，其中 $\text{[math]}$ 为坐标原点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求线段 $\text{[math]}$ 的长．
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19. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值，并证明数列 $\text{[math]}$ 为等差数列；
2. （2）令 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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20. 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5t，乙材料1t，用50个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5t，乙材料0.3t，用30个工时，生产一件产品A的利润为21万元，生产一件产品B的利润为0.9万元．该企业现有甲材料150t，乙材料90t，且规定不能超过6000个工时．设生产x件产品A， y件产品B．
1. （1）写出关于xy的线性约束条件，并在给出的坐标系中作出可行域；
2. （2）如何安排生产，才能使得生产产品A、产品B的利润之和z取得最大？并求z的最大值．
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21. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 上一点，满足 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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22. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且椭圆 $\text{[math]}$ 的上顶点与右焦点所在直线的斜率为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 是椭圆上异于左顶点 $\text{[math]}$ 的两个点，若以 $\text{[math]}$ 为直径的圆过点 $\text{[math]}$ ，求证：直线 $\text{[math]}$ 过定点．
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