广东省汕头市2020-2021学年度高三上学期数学教学质量检...

更新时间：2021-10-11 浏览次数：90 类型：月考试卷

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ 是实数， $\text{[math]}$ 是纯虚数，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . -1 D . $\text{[math]}$

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3. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数，现有一组勾股数3，4，5，则由这组勾股数组成没有重复数字的三位数中，能被2整除的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 爱美之心，人皆有之健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了100名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg）情况如柱状图1所示，经过六个月的健身后，他们的体重情况如柱状图2所示.对比健身前后，关于这100名肥胖者，下面结论不正确的是（）

A . 他们健身后，体重在区间 $\text{[math]}$ 内的人数增加了10个 B . 他们健身后，原来体重在区间 $\text{[math]}$ 内的肥胖者体重都有减少 C . 他们健身后，体重在区间 $\text{[math]}$ 内的人数没有改变 D . 因为体重在 $\text{[math]}$ 内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响

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6. $\text{[math]}$ 的展开式中的 $\text{[math]}$ 系数为（）

A . -200 B . -120 C . 120 D . 200

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7. 已知定义在R的函数 $\text{[math]}$ 满足以下条件：①对任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ；②对任意 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图3），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）

A . 64π B . 148π C . 128π D . 32π

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二、多选题

9. 已知数列 $\text{[math]}$ 是公差为3的等差数列， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，下面选项中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 小值为-15 C . $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 的最小值为7 D . $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项之积最大值40

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10. 下列不等式正确的有（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ C . 函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . 已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是4

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，现将 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到 $\text{[math]}$ 的图象，下列说法错误的是（）

A . 该图象对应的函数解析式为 $\text{[math]}$ B . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 C . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 D . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增

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12. 如图，棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点（含端点），则下列结论正确的是（）

A . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 体积最大值为 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点时，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 所成的角的余弦值为 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角不可能是 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 设向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 已知 $\text{[math]}$ 的三个顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则顶点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 边上中线 $\text{[math]}$ 所在直线的距离为.

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15. 如图，一辆汽车以每秒20米的速度在一条水平的公路上向正西行驶，到 $\text{[math]}$ 处时测得公路北侧一山顶 $\text{[math]}$ 在西偏北15°的方向上，行驶到达 $\text{[math]}$ 处时，测得此山顶 $\text{[math]}$ 在西偏北75°的方向上，仰角为60°，已知山的高度 $\text{[math]}$ 米，则汽车从 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 行驶了小时.

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16. 直三棱柱的顶点都在一个半径为3的球面上，底面是等腰 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，当直三棱柱的体积最大时，此时它的高的值为.

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四、解答题

17. 在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ 这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并解答.已知 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且满足 ▲ ，求 $\text{[math]}$ 面积.

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18. 已知公比不为1的等比数列 $\text{[math]}$ ，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等差数列.
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和.
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19. 已知边长为2的等边 $\text{[math]}$ （图1），点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的中点，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折到 $\text{[math]}$ 的位置，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ （图2），此时点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值.
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20. 当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化，为提高防控能力以及实效，某学校为宣传防疫知识做了大量工作，近期该校还将准备组织一次有关新冠病毒预防知识竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两阶段进行.初赛共有5道必答题，答对4道或4道以上试题即可进入决赛；决赛阶段共3道选答题.每位同学都独立答题，且每道题是否答对相互独立.已知甲同学初赛阶段答对每道题的概率为 $\text{[math]}$ ，决赛阶段答对每题的概率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求甲同学进入决赛的概率；
2. （2）在决赛阶段，若选择答题，答对一道得4分，答错一道扣1分，选择放弃答题得0分，已知甲同学对于选答的3道题，选择回答和放弃回答的概率均为 $\text{[math]}$ .已知甲同学已获决赛资格，求甲同学在决赛阶段，得分 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望.
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 其左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为椭圆的一个顶点，三角形 $\text{[math]}$ 的面积为2.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 为椭圆的左顶点，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为等边三角形，求点 $\text{[math]}$ 的横坐标.
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22. 已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的最小值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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