广东省2022届高三上学期数学综合能力测试试卷（一）

更新时间：2021-09-16 浏览次数：228 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 复数 $\text{[math]}$ （i为虚数单位）的共轭复数 $\text{[math]}$ （　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 若抛物线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 到焦点的距离是4，则抛物线的方程为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 基本分裂数m，是一个衡量细菌分裂的参数，简单来说在1小时内1个细菌平均可以分裂成m个细菌．已知在某种细菌培养过程中，原有细菌26个，经过了3小时后细菌增至105个，那么 $\text{[math]}$ ，参考上述数据预计再经过（　　）小时细菌就会突破十万个．

A . 12 B . 15 C . 18 D . 21

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5. 已知 $\text{[math]}$ 为三角形的内角，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 受全球新冠疫情影响，2020东京奥运会延期至2021年7月23日到8月8日举行，某射箭选手积极备战奥运，在临赛前的一次训练中共射了1组共72支箭，下表是命中环数的部分统计信息

环数

<7

7

8

9

10

频数

0

3

a

b

22

已知该次训练的平均环数为9.125环，据此水平，正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于9环）的概率约为（　　）

A . 0.31 B . 0.65 C . 0.86 D . 1

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7. 如图，直线 $\text{[math]}$ 依次与曲线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 及x轴相交于点A、点B及点C，若B是线段 $\text{[math]}$ 的中点，则（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），若当 $\text{[math]}$ 时，恒有 $\text{[math]}$ ，则a的取值范围是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 2021年5月11日，国家统计局公布了第七次人口普查统计数据，全国总人口数为141178万全部七次人口普查的人口增长率、性别比及城镇化进程变化情况如下图：

根据以上信息，下列统计结论正确的是（　　）

A . 七次人口普查的人口增长率逐次减少 B . 七次人口普查的性别比趋于稳定，重男轻女的传统观念有所转变 C . 七次人口普查的城镇人口比重逐次提高 D . 第七次人口普查城镇人口数与乡村人口数相差超过4亿

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的减函数 C . $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ D . 不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 B . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 C . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递减 D . 该图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位可得 $\text{[math]}$ 的图象

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12. 下列不等式成立的是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知 $\text{[math]}$ 的展开式的二项式系数之和为16，则各项系数之和为．（用数字作答）

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14. 若椭圆的左顶点、上顶点以及右焦点构成直角三角形，则该椭圆的离心率为．

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15. 直三棱柱 $\text{[math]}$ 的所有顶点都在球O的球面上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则球O的体积是．

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16. 定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是奇函数，则 $\text{[math]}$ ；满足 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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18. 已知各项均为正数的数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和．
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19. 如图，长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ，在平面 $\text{[math]}$ 内过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．
1. （1）在图中画出直线 $\text{[math]}$ 并说明理由；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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20. 研究表明，子女的平均身高 $\text{[math]}$ 与父母的平均身高 $\text{[math]}$ 有较强的线性相关性．某数学小组收集到8个家庭的相关数据，下面是小组制作的统计图散点图、回归直线及回归方程）与原始数据表（局部缺失）：

家庭编号	1	2	3	4	5	6	7	8
父母平均身高（ $\text{[math]}$ ）	160.5	165	167	170	170.5	173	174	180
子女平均身高（ $\text{[math]}$ ）	168	170	172.5	187	174.5	176	180	*

（1）表中8号家庭的子女平均身高数据缺失，试根据统计学知识找回该数据：
（2）由图中观察到4号家庭的数据点明显偏离回归直线l，试计算其残差（残差=观测值-预报值）
若剔除4号家庭数据点后，用余下的7个散点作线性回归分析，得到新的回归直线 $\text{[math]}$ ，判断并证明l与 $\text{[math]}$ 的位置关系．

附：对于一组数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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21. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，一条渐近线方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）记 $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的右支于 $\text{[math]}$ 两点，连结 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 三点共线．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）确定a的所有值，使函数 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的增函数；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 处取得极小值 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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