河南省驻马店市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试...

更新时间：2021-08-12 浏览次数：163 类型：期末考试

一、单选题

1. 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位，复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点为 $\text{[math]}$ ，则复数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 命题“ $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ”的否定是（）

A . $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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3. 若 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 已知变量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 若曲线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所围成的平面图形的面积为 $\text{[math]}$ ，则二项式 $\text{[math]}$ 展开后常数项是（）

A . 84 B . -84 C . 28 D . -28

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7. 在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的 $\text{[math]}$ 列联表：

休闲

性别

看电视或玩手机

运动或旅游

男

10

22

女

16

12

为了判断休闲方式是否与性别有关，根据表中数据，得到 $\text{[math]}$ .因为 $\text{[math]}$ ，所以判定休闲方式与性别有关系，那么这种判断（）[参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]

A . 出错的可能性至多为5% B . 出错的可能性至多为1% C . 出错的可能性至少为5% D . 出错的可能性至少为1%

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8. (2019高二上·河南月考) 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设 $\text{[math]}$ 的三个内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，面积为 $\text{[math]}$ ，则“三斜求积”公式为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则用“三斜求积”公式求得 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . 6 B . 4 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 某批零件的尺寸 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ 且满足 $\text{[math]}$ ，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取 $\text{[math]}$ 件，若保证抽取的合格零件至少有1件的概率不低于0.9，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 6 B . 5 C . 4 D . 3

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11. 2021年1月18日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审.初评环节遴选出弘毅､麒麟､哪吒､赤兔､祝融､求索､风火轮､追梦､天行､星火共10个名称，作为我国首辆火星车的命名范围.某同学为了研究这些初选名字的内涵，计划从中随机选取3个依次进行分析，若该同学同时选中麒麟､哪吒，则麒麒和哪吒连续被分析，否则随机依次分析，则所有不同的分析情况有（）

A . 704种 B . 536种 C . 520种 D . 352种

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12. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，经过点 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与抛物线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点(点 $\text{[math]}$ 在第一象限)，与抛物线的准线交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）
① $\text{[math]}$ ② $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点③ $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点④ $\text{[math]}$

A . ①③ B . ①④ C . ②③ D . ②④

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二、填空题

13. 已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 设△ $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的左右焦点，过 $\text{[math]}$ 且倾斜角为60°的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的左､右两支分别交于 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 两点.若 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为.

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 存在唯一的零点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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18. 如图所示，菱形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将△ $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折到△ $\text{[math]}$ 的位置，使得 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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19. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右焦点， $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上任意一点，且 $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）过 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ ，请问 $\text{[math]}$ 的值 $\text{[math]}$ 分别表示直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的斜率)是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.
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20. 某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年.如图所示，两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装.

其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立).客户在安装净水系统的同时购买滤芯和在使用过程中单独购买滤芯的情况如下表：

	一级滤芯	二级滤芯
安装净水系统的同时购买	160元/个	80元/个
使用过程中单独购买	200元/个	100元/个

现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该净水系统在十年使用期内更换的滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图.

表1：一级滤芯更换频数分布表

一级滤芯更换的个数	8	9
频数	60	40

图2：二级滤芯更换频数条形图

以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率.

（1）记 $\text{[math]}$ 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望；
（2）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为21的概率；
（3）记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值.

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的值.
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22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为参数).以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为极径， $\text{[math]}$ 为极角).
1. （1）请分别求出直线 $\text{[math]}$ 和曲线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ ，且与曲线 $\text{[math]}$ 的交点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的值.
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23. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）解不等式： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，且实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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