北京市昌平区2021届高三数学二模试卷

更新时间：2021-06-08 浏览次数：127 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的共轭复数 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . 2 B . 1 C . -1 D . -2

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3. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（）

A . 24 B . 36 C . 54 D . 108

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4. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，则其渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 下列函数中，最小正周期为 $\text{[math]}$ 的奇函数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 过原点且倾斜角为45°的直线被圆 $\text{[math]}$ 所截得的弦长为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . $\text{[math]}$ D . 8

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7. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为非零向量，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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8. 中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则.例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至. 已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺，按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为（）

A . 3.4尺 B . 4.36尺 C . 5.32尺 D . 21.64尺

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9. 将函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，所得图象经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，动点 $\text{[math]}$ 在正方体内部或表面上，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的轨迹所形成区域的面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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二、填空题

11. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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12. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为 .（用数字作答）

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13. 下图是国家统计局发布的2020年2月至2021年2月全国居民消费价格涨跌幅折线图；则给出下列三个结论：①2020年11月居民消费价格低于2019年同期；②2020年3月至7月居民的消费价格持续增长；③2020年7月的消费价格低于2020年3月的消费价格.其中所有正确结论的序号是.

说明：⒈在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2021年2月与2020年2月相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2020年4月与2020年3月相比较.

⒉同比增长率= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，环比增长率= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

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14. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ .

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15. 已知抛物线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 有一个公共焦点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标是；若抛物线的准线与椭圆交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 是坐标原点，且 $\text{[math]}$ 是直角三角形，则椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ .

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三、解答题

16. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设等比数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
  条件①： $\text{[math]}$ ；条件②： $\text{[math]}$ ；条件③： $\text{[math]}$ .
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17. 某大学为了解学生对 $\text{[math]}$ 两本数学图书的喜好程度，从这两本数学图书都阅读过的生中随机抽取了50人，分别对这两本图书进行评分反馈，满分为100分，得到的相应数据整理如下表：

分数	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
A图书频数	2	2	8	20	18
B图书频数	2	10	10	12	16

学生对图书的“评价指数”如下表：

分数	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
评价指数	1	2	3

（1）从 $\text{[math]}$ 两本图书都阅读过的学生中任选1人，试估计其对 $\text{[math]}$ 图书“评价指数”为2的概率；
（2）从对 $\text{[math]}$ 图书“评价指数”为1的学生中任选3人进一步访谈，设 $\text{[math]}$ 为3人中评分在 $\text{[math]}$ 内的人数，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望；
（3）试估计学生更喜好 $\text{[math]}$ 哪一本图书，并简述理由.

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18. 如图，在直四棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是平行四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的大小；
3. （3）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ?若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由.
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19. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且离心率为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆C的标准方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 与椭圆C有两个不同的交点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求实数k的取值范围.
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20. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 对于任意的 $\text{[math]}$ 都成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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21. 对于有限数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，定义：对于任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，有（1） $\text{[math]}$ ；（2）对于 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ .对于 $\text{[math]}$ ，若存在非零常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称常数 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 阶 $\text{[math]}$ 系数.
1. （1）设数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，计算 $\text{[math]}$ ，并判断2是否为数列的4阶 $\text{[math]}$ 系数；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 阶 $\text{[math]}$ 系数为3，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）设数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，满足-1，2均为数列 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 阶 $\text{[math]}$ 系数，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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