江苏省苏州市2021届高三下学期数学三模试卷

更新时间：2021-06-07 浏览次数：108 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知 $\text{[math]}$ 为全集，非空集合 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，则 $\text{[math]}$ 的值为（）
(参考数据： $\text{[math]}$ )

A . 0.1737 B . 0.3474 C . 0.6837 D . 0.8263

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3. 欧拉公式 $\text{[math]}$ (其中i为虚数单位)是把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，其中e是自然对数的底，i是虚数单位．它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”．当 $\text{[math]}$ 时，恒等式 $\text{[math]}$ 更是被数学家们称为“上帝创造的公式”．根据上述材料可知 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 1 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 4

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4. 为了更好地管理班级，班主任决定选若干名学生担任班主任助理，于是征求语、数、英三科任课教师的意见．语文老师：如果不选小李，那么不选小宋；数学老师：如果不选小宋，那么选小李；英语老师：小宋和小李两人中至少选一个并且至多选一个．若班主任同时采纳了三人的建议，则作出的选择是（）

A . 选小宋，不选小李 B . 选小李，不选小宋 C . 两人都选 D . 两人都不选

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5. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 15 B . 20 C . 60 D . 160

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6. 函数 $\text{[math]}$ 的图象大致为（）

A . B . C . D .

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7. 如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线 $\text{[math]}$ 1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为 $\text{[math]}$ ，下底座外直径为 $\text{[math]}$ ，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（）

A . 2 $\text{[math]}$ π B . 3π C . 2 $\text{[math]}$ π D . 4π

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8. 若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上，对 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为一个三角形的三边长，则称函数 $\text{[math]}$ 为“稳定函数”．已知函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是“稳定函数”，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2021高一下·恩施月考) 已知 $\text{[math]}$ 是边长为2的正三角形，该三角形重心为点G，点P为 $\text{[math]}$ 所在平面内任一点，下列等式一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 若实数x，y满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 定义：若存在非零常数k，T，使得函数f(x)满足f(x+T)=f(x)+k对定义域内的任意实数x恒成立，则称函数f(x)为“k距周期函数”，其中T称为函数的“类周期”．则（）

A . 一次函数均为“k距周期函数” B . 存在某些二次函数为“k距周期函数” C . 若“1距周期函数”f(x)的“类周期”为1，且f（1）=1，则f(x)=x D . 若g(x)是周期为2函数，且函数f(x)=x+g(x)在[0，2]上的值域为[0，1]，则函数f(x)=x+g(x)在区间[2n，2n+2]上的值域为[2n，2n+1]

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12. 斐波那契，公元13世纪意大利数学家．他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．斐波那契数列与代数和几何都有着不可分割的联系．现有一段长为a米的铁丝，需要截成n(n>2)段，每段的长度不小于1m，且其中任意三段都不能构成三角形，若n的最大值为10，则a的值可能是（）

A . 100 B . 143 C . 200 D . 256

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三、填空题

13. 写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆标准方程为．

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14. 已知等差数列{a_n}的前n项和为{S_n}，公差为d，若 $\text{[math]}$ ，则d=．

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15. 如图，三根绳子上共挂有6只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，每枪只能打破一只气球，而且规定只有打破下面的气球才能打上面的气球，则将这些气球都打破的不同打法数是．

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16. 如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽 $\text{[math]}$ cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．①在杯口放一个表面积为 $\text{[math]}$ 的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为 cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为(单位：cm)．

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四、解答题

17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求A的值；
2. （2）若k=2，求当C最大时△ABC的形状．
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18. 在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，首项为2，且满足．
1. （1）求数列{a_n}的通项公式；
2. （2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d_n的等差数列，求证： $\text{[math]}$ ．
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19. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为A、B，其图象经过点 $\text{[math]}$ ，渐近线方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求双曲线C的方程；
2. （2）设点E、F是双曲线C上位于第一象限的任意两点，求证： $\text{[math]}$ ．
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20. 如图，在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，∠ABC=60°，CD=1，AE=AC=2，F为BE的中点．
1. （1）当BC的长为多少时，DF⊥平面ABE．
2. （2）求平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小．
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21. 为落实十三五规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A型和B型设备各100台，得到如下频率分布直方图：

（1）将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表：

	超过2500小时	不超过2500小时	总计
A型
B型
总计

根据上面的列联表，能否有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关？

（2）用分层抽样的方法从不超过2500小时A型和B型设备中抽取8台，再从这8台设备中随机抽取3台，其中A型设备为X台，求X的分布列和数学期望；
（3）已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备(更换设备时间忽略不计)，A型和B型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为0.75元/度.只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说明理由.
参考公式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

参考数据：

P（K²≥k₀）

0.050

0.010

0.001

k₀

3.841

6.635

10.828

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22. 已知函数 $\text{[math]}$ (其中e为自然对数的底数)．
1. （1）若对任意 $\text{[math]}$ 成立，求实数k的取值范围；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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