山东省济南市2021届高三数学二模试卷

更新时间：2021-06-26 浏览次数：137 类型：高考模拟

一、单选题

1. 设复数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位），则复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于（　　）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. $\text{[math]}$ 的展开式中，含 $\text{[math]}$ 项的系数为（）

A . 4 B . 6 C . 10 D . 15

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3. $\text{[math]}$ 中，“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充要条件 B . 充分不必要条件 C . 必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办．为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下2×2列联表．

	男	女	合计
关注冰雪运动	35	25	60
不关注冰雪运动	15	25	40
合计	50	50	100

根据列联表可知（）

参考公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

附表：

P（K²≥k₀）	0.100	0.050	0.010	0.001
k₀	2.706	3.841	6.635	10.828

A . 该市女性居民中大约有5%的人关注冰雪运动 B . 该市男性届民中大约有95%的人关注冰雪运动 C . 有95%的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关 D . 有99%的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关

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5. 将函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位后，得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，则下列关于 $\text{[math]}$ 的说法正确的是（）

A . 最小正周期为 $\text{[math]}$ B . 最小值为-1 C . 图象关于点 $\text{[math]}$ 中心对称 D . 图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称

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6. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，过焦点 $\text{[math]}$ 的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限）．若直线AB的斜率为 $\text{[math]}$ ，点A的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . 2

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7. 苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时天文学家处理“大数运算”提供了巨大的便利．已知正整数N的31次方是一个35位数，则由下面的对数表，可得N的值为（）

M	2	3	6	7	8	9	11	12	13	14	15	16	17
lgM	0.30	0.48	0.78	0.85	0.90	0.95	1.04	1.08	1.11	1.15	1.18	1.20	1.23

A . 12 B . 13 C . 14 D . 15

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8. 已知正四面体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，平面 $\text{[math]}$ 与棱AB、CD均平行，则 $\text{[math]}$ 截此正四面体所得截面面积的最大值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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二、多选题

9. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 为奇函数 B . $\text{[math]}$ 为减函数 C . $\text{[math]}$ 有且只有一个零点 D . $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$

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11. 已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 是等比数列 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，过 $\text{[math]}$ 且倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线与双曲线的右支交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，记 $\text{[math]}$ 的内切圆 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的内切圆 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴垂直 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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14. 习近平总书记在党史学习教育动员大会上强调：“回望过往的奋斗路，眺望前方的奋进路，必须把党的历史学习好、总结好，把党的成功经验传承好、发扬好．”某党小组为响应习总书记号召，重温百年奋斗的恢弘史诗，以信仰之光照亮前行之路，组织开展党史学习教育知识竞赛活动，其中7名党员在这次活动中的成绩统计如图所示．则这7个成绩的中位数所对应的党员是．

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15. 已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为．

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则实数a的取值范围为．

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四、解答题

17. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 恰好满足下列四个条件中的三个：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．
1. （1）请指出这三个条件（不必说明理由）；
2. （2）求边 $\text{[math]}$ ．
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18. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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19. 如图1，在等腰梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别沿 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 折起，使平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，得到图2．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）记平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的交线为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小．
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20. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 单调递增且有唯一零点；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 单调递增且有唯一零点，判断 $\text{[math]}$ 的零点个数．
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的离心率为 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于A， $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值．
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22. 某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由 $\text{[math]}$ 个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为 $\text{[math]}$ ，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于 $\text{[math]}$ 个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为 $\text{[math]}$ （例如： $\text{[math]}$ 表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率； $\text{[math]}$ 表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
1. （1）若每个元件正常工作的概率 $\text{[math]}$ ．
  （i）当 $\text{[math]}$ 时，求控制系统中正常工作的元件个数 $\text{[math]}$ 的分布列和期望；
  
  （ii）计算 $\text{[math]}$ ．
2. （2）已知设备升级前，单位时间的产量为 $\text{[math]}$ 件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为 $\text{[math]}$ ，每件高端产品的利润是2元．请用 $\text{[math]}$ 表示出设备升级后单位时间内的利润 $\text{[math]}$ （单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
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