安徽省芜湖市2021届高三下学期理数5月教育教学质量监控试卷

更新时间：2021-06-16 浏览次数：99 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . -1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知甲、乙两名同学在高三的六次模考中数学成绩统计如图，则下列说法错误的是（）

A . 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B . 第5次模考甲的数学成绩比乙高 C . 若甲、乙两组数据的平均数分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若甲、乙两组数据的方差分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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4. 已知方程 $\text{[math]}$ 表示椭圆，且该椭圆两焦点间的距离为4，则离心率 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 三位同学获得本年度数学竞赛前三名，老师告知他们如下信息：①甲不是第一名；②乙是第三名；③丙不是第三名，并告知他们以上3条信息有且只有1条是正确信息，则该三位同学的数学竞赛成绩从高到低的排序为（）

A . 甲、乙、丙 B . 丙、甲、乙 C . 甲、丙、乙 D . 乙、甲、丙

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7. 函数 $\text{[math]}$ 的部分图象可能为（）

A . B . C . D .

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8. 已知 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为常数，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -32 B . 32 C . 64 D . -64

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9. 已知正四面体 $\text{[math]}$ 的棱长为2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则正四面体 $\text{[math]}$ 的外接球被平面 $\text{[math]}$ 所截的截面面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知 $\text{[math]}$ 的外接圆半径为2，内切圆半径为1， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 4或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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11. 已知无穷等比数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 数列 $\text{[math]}$ 为递增数列 B . 数列 $\text{[math]}$ 为递减数列 C . 数列 $\text{[math]}$ 有最小项 D . 数列 $\text{[math]}$ 有最大项

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12. 函数 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的偶函数，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .若对任意的 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 0 D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是单位向量， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为锐角，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 已知 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线上任意一点，当 $\text{[math]}$ 取最小值时， $\text{[math]}$ ．

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16. 在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为棱上一点，满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为定值）．记 $\text{[math]}$ 点的个数为 $\text{[math]}$ ，有下列说法：①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；③当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 的最大值为8．其中说法正确的是．

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三、解答题

17. 已知 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．再从条件①②③中选择一个作为已知条件，完成下列问题：
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和．
  条件① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）；③ $\text{[math]}$ ．
  
  注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分．
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18. 如图，在圆柱 $\text{[math]}$ 中，矩形 $\text{[math]}$ 是圆柱 $\text{[math]}$ 的轴截面，点 $\text{[math]}$ 在上底面圆周上（异于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），点 $\text{[math]}$ 为下底面圆弧 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 的同侧，圆柱 $\text{[math]}$ 的底面半径为1，高为2．
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 是圆弧 $\text{[math]}$ 的中点，证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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19. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，离心率 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的一条渐近线交于 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的右支于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．
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20. 第24届冬奥会将于2022年2月在中国北京市和张家口巿联合举行．某城市为传播冬奥文化，举行冬奥知识讲解员选技大赛．选手需关注活动平台微信公众号后，进行在线答题，满分为200分．经统计，有40名选手在线答题总分都在 $\text{[math]}$ 内．将得分区间平均分成5组，得到了如图所示的频率分布折线图．
1. （1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并估计这40名选手的平均分；
2. （2）根据大赛要求，在线答题总分不低于190分的选手进入线下集训，线下集训结束后，进行两轮考核．第一轮为笔试，考试科目为外语和冰雪运动知识，每科的笔试成绩从高到低依次有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四个等级．两科均不低于 $\text{[math]}$ ，且至少有一科为 $\text{[math]}$ ，才能进入第二轮面试，第二轮得到“通过”的选手将获得“冬奥知识讲解员”资格．已知总分高于195分的选手在每科笔试中取得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；总分不超过195分的选手在每科笔试中取得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；若两科笔试成绩均为 $\text{[math]}$ ，则无需参加“面试”，直接获得“冬奥知识讲解员”资格；若两科笔试成绩只有一个 $\text{[math]}$ ，则要参加面试，总分高于195分的选手面试“通过”的概率为 $\text{[math]}$ ，总分不超过195分的选手面试“通过”的概率为 $\text{[math]}$ ．若参加线下集训的选手中有2人总分高于195分，求恰有两名选手获得“冬奥知识讲解员”资格的概率．
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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22. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数， $\text{[math]}$ ），以 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的普通方程；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ 为定值．
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23. 已知正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ．
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