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上海市松江区2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

更新时间：2021-05-08 浏览次数：94 类型：期末考试

一、填空题

1. 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为 $\text{[math]}$ ，异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的距离为.

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2. 若排列数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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3. 若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）有一个根为 $\text{[math]}$ （i是虚数单位），则q的值为.

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4. 正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为6，则此三棱柱的体积为.

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5. (2019高二下·上海期末) 已知直线 $\text{[math]}$ 的一个方向向量 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 的一个法向量 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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6. 已知复数z满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （其中i是虚数单位）的最小值为.

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7. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角是.

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8. 二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中，各项的系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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9. 从分别标有数字 $\text{[math]}$ 的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的两张卡片上数字的奇偶性不同的概率是.

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10. 设球O的表面积为 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ 是球O的一小圆， $\text{[math]}$ ，A、B是圆 $\text{[math]}$ 上的两点，若A、B两点间的球面距离为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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11. 如图，两个棱长为1的正方体排成一个四棱柱，AB是一条侧棱， $\text{[math]}$ 是正方体其余的10个顶点，则 $\text{[math]}$ 的不同值的个数为个.

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12. 已知棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为侧面 $\text{[math]}$ 中心， $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上运动，正方体表面上有一点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则所有满足条件的 $\text{[math]}$ 点构成图形的面积为．

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二、单选题

13. “两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的（）

A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充要条件 D . 既非充分又非必要条件

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14. 某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体400名学生中抽25名学生做牙齿健康检查，现将400名学生从1到400进行编号，求得间隔数 $\text{[math]}$ ，即每16人抽取一个人，在 $\text{[math]}$ 中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从 $\text{[math]}$ 这16个数中应取的数是（）

A . 40 B . 39 C . 38 D . 37

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15. 设 $\text{[math]}$ 是不同的直线， $\text{[math]}$ 是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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16. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则不同点的坐标个数为（）

A . 36 B . 35 C . 34 D . 33

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三、解答题

17. 已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 是虚数单位）.
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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18. 已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4， $\text{[math]}$ ，OA、OB是底面半径，且 $\text{[math]}$ ，M为线段AB的中点，如图所示.
1. （1）求圆锥的表面积；
2. （2）求异面直线PM与OB所成的角的大小.
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19. 为了促进消费回补和潜力释放，上海市政府举办“2020五五购物节”活动，某商家提供1000台吸尘器参加此项活动，其中豪华型吸尘器400台，普通型吸尘器600台.
1. （1）豪华型吸尘器前6天的销量分别为：9、12、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、10、10（单位：台），把这6个数据看作一个总体，其均值为10，方差为3，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若用分层抽样的方法在这批吸尘器中抽取一个容量为25的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2台吸尘器，求至少有1台豪华型吸尘器的概率（用最简分数表示）.
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20. (2019高二下·上海期末) 如图，已知三棱柱 $\text{[math]}$ 的侧棱与底面垂直， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，M是 $\text{[math]}$ 的中点，N是 $\text{[math]}$ 的中点，点P在 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ .
2. （2）当 $\text{[math]}$ 取何值时，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角 $\text{[math]}$ 最大？并求该角最大值的正切值.
3. （3）若平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的二面角为 $\text{[math]}$ ，试确定P点的位置.
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21. 我们称 $\text{[math]}$ 元有序实数组 $\text{[math]}$ 为n维向量， $\text{[math]}$ 为该向量的范数，已知n维向量 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记范数为奇数的n维向量 $\text{[math]}$ 的个数为 $\text{[math]}$ ，这 $\text{[math]}$ 个向量的范数之和为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）当n为奇数时，证明： $\text{[math]}$ .
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