2015-2016学年江苏省南京市高一下学期期末数学试卷

更新时间：2016-10-19 浏览次数：1176 类型：期末考试

一、<b >填空题</b>

1. 2sin15°cos15°=．

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2. 经过两点A（1，1），B（2，3）的直线的方程为．

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3. 在等差数列{a_n}中，已知a₁=3，a₄=5，则a₇等于．

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4. 在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x﹣2y+m﹣1=0在y轴上的截距为 $\text{[math]}$ ，则实数m的值为．

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5. 不等式 $\text{[math]}$ ＞3的解集是．

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6. 在平面直角坐标系xOy中，若直线l：y﹣1=k（x﹣ $\text{[math]}$ ）不经过第四象限，则实数k的取值范围是．

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7. 如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角∠CDE=90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为．

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8. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csinA=atanC，则角C的大小是．

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9. 记数列{a_n}的前n项和为S_n ，若对任意的n∈N^* ，都有S_n=2a_n﹣3，则数列{a_n}的第6项a₆=．

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10. 正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的底面边长为2，高为3，点P为侧棱BB₁上一点，则三棱锥A﹣CPC₁的体积是．

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11. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．在下列命题中，正确的是（写出所有正确命题的序号）
①若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α；
②若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β；
③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ

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12. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数f（x）=x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，则关于x的不等式x²+bx+c＜4的解集是．

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13. 在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点P（a，b）在直线x+2y﹣1=0上，则 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的最小值是．

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14. 已知等差数列{a_n}是有穷数列，且a₁∈R，公差d=2，记{a_n}的所有项之和为S，若a₁²+S≤96，则数列{a_n}至多有项．

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二、<b >解答题</b>

15. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，4），直线l：x﹣2y+1=0．
1. （1）求过点A且平行于l的直线的方程；
2. （2）若点M在直线l上，且AM⊥l，求点M的坐标．
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16. 计算求值.
1. （1）已知cosα= $\text{[math]}$ ，α为锐角，求tan2α的值；
2. （2）已知sin（θ+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，θ为钝角，求cosθ的值．
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17. 如图，已知直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，且∠BCD=60°，P为AD₁的中点，Q为BC的中点
1. （1）求证：PQ∥平面D₁DCC₁；
2. （2）求证：DQ⊥平面B₁BCC₁ ．
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18. 某展览馆用同种规格的木条制作如图所示的展示框，其内框与外框均为矩形，并用木条相互连结，连结木条与所连框边均垂直．水平方向的连结木条长均为8cm，竖直方向的连结木条长均为4cm，内框矩形的面积为3200cm² ．（不计木料的粗细与接头处损耗）
1. （1）如何设计外框的长与宽，才能使外框矩形面积最小？
2. （2）如何设计外框的长与宽，才能使制作整个展示框所用木条最少？
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19. 如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AC=3，△ABC的面积等于 $\text{[math]}$ ，D为边长BC上一点．
1. （1）求BC的长；
2. （2）当AD= $\text{[math]}$ 时，求cos∠CAD的值．
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20. 记等比数列{a_n}前n项和为S_n ，已知a₁+a₃=30，3S₁ ， 2S₂ ， S₃成等差数列．
1. （1）求数列{a_n}的通项公式；
2. （2）若数列{b_n}满足b₁=3，b_n+1﹣3b_n=3a_n ，求数列{b_n}的前n项和B_n；
3. （3）删除数列{a_n}中的第3项，第6项，第9项，…，第3n项，余下的项按原来的顺序组成一个新数列，记为{c_n}，{c_n}的前n项和为T_n ，若对任意n∈N^* ，都有 $\text{[math]}$ ＞a，试求实数a的最大值．
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