2015-2016学年江苏省苏北四市（徐州、连云港、淮安、宿...

更新时间：2016-09-20 浏览次数：979 类型：期末考试

一、<b >填空题</b>

1. 已知集合A={0，a}，B={0，1，3}，若A∪B={0，1，2，3}，则实数a的值为．

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2. 已知复数z满足z²=﹣4，若z的虚部大于0，则z=．

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3. 交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50﹣90km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h以下的汽车有辆．

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4. 运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为．

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5. 函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的部分图象如图所示，若AB=5，则ω的值为．

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6. 若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为．

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7. 抛物线y²=4x的焦点到双曲线 $\text{[math]}$ =1渐近线的距离为．

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8. 已知矩形ABCD的边AB=4，BC=3，若沿对角线AC折叠，使得平面DAC⊥平面BAC，则三棱柱D﹣ABC的体积．

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9. 若公比不为1的等比数列{a_n}满足log₂（a₁•a₂…a₁₃）=13，等差数列{b_n}满足b₇=a₇ ，则b₁+b₂…+b₁₃的值为．

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10. 定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）=log₂（x+2）+（a﹣1）x+b（a，b为常数），若f（2）=﹣1，则f（﹣6）的值为．

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11. 已知| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =1，若点C满足| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |=1，则| $\text{[math]}$ |的取值范围是．

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12. 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ 若关于x的不等式f（x）＜π的解集为（﹣∞， $\text{[math]}$ ），则实数a的取值范围是．

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13. 已知点A（0，1），B（1，0），C（t，0），点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，则最小正整数t的值为．

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14. 设a，b，c是正实数，满足b+c≥a，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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二、<b >解答题</b>

15. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA= $\text{[math]}$ ，tan（A﹣B）=﹣ $\text{[math]}$ ．
1. （1）求tanB的值；
2. （2）若b=5，求c．
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16. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．
1. （1）求证：PB∥平面EAC；
2. （2）求证：平面PAD⊥平面ABCD．
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17.
如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C．为方便游客光，拟过曲线C上的某点分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xOy，则曲线符合函数y=x+ $\text{[math]}$ （1≤x≤9）模型，设PM=x，修建两条道路PM，PN的总造价为f（x）万元，题中所涉及的长度单位均为百米．
1. （1）求f（x）解析式；
2. （2）当x为多少时，总造价f（x）最低？并求出最低造价．
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18. 已知各项均为正数的数列{a_n}的首项a₁=1，s_n是数列{a_n}的前n项和，且满足：
a_nS_n+1﹣a_n+1S_n+a_n﹣a_n+1=λa_na_n+1（λ≠0，n∈N^• ）
1. （1）若a₁ ， a₂ ， a₃成等比数列，求实数λ的值；
2. （2）若λ= $\text{[math]}$ ，求S_n ．
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19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率e= $\text{[math]}$ ，左顶点为A（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；
3. （3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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20. 已知函数f（x）=e^x[ $\text{[math]}$ x³﹣2x²+（a+4）x﹣2a﹣4]，其中a∈R，e为自然对数的底数．
1. （1）若函数f（x）的图象在x=0处的切线与直线x+y=0垂直，求a的值；
2. （2）关于x的不等式f（x）＜﹣ $\text{[math]}$ e^x在（﹣∞，2）上恒成立，求a的取值范围；
3. （3）讨论函数f（x）极值点的个数．
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21. 如图，∠PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA．

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22. 已知矩阵A= $\text{[math]}$ ，求矩阵A的特征值和特征向量．

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23. 在极坐标系中，圆C的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，P为圆C上一点，求△PAB面积的最小值．

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24. 设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x+ $\text{[math]}$ ≥2y+3．

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25. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面△ABC是直角三角形，AB=AC=1，点P是棱BB₁上一点，满足 $\text{[math]}$ （0≤λ≤1）．
1. （1）若λ= $\text{[math]}$ ，求直线PC与平面A₁BC所成角的正弦值；
2. （2）若二面角P﹣A₁C﹣B的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求λ的值．
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26. 已知数列{a_n}满足a_n=3n﹣2，f（n）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，g（n）=f（n²）﹣f（n﹣1），n∈N^* ．
1. （1）求证：g（2）＞ $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证：当n≥3时，g（n）＞ $\text{[math]}$ ．
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