2015-2016学年广东省东莞市高三上学期期末数学试卷（理...

更新时间：2016-09-20 浏览次数：1103 类型：期末考试

一、选择题

1. 已知i是增数单位，若 $\text{[math]}$ 是纯虚数，则| $\text{[math]}$ |=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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2. 已知全集U=R，集合A={x|lgx＜0}，B={y=y²﹣2y﹣3≤0}，则下面中阴影部分表示的区间是（）

A . （0，1） B . （1，3] C . [1，3] D . [﹣1，0]∪[1，3]

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3. 已知命题p：∃m∈R，使得函数f（x）=x²+（m﹣1）x²﹣2是奇函数，命题q：向量 $\text{[math]}$ =（x₁ ， y₁）， $\text{[math]}$ =（x₂ ， y₂），则“ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ”是：“ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ”的充要条件，则下列命题为真命题的是（）

A . p∧q B . （￢p）∧q C . p∧（￢q） D . （￢p）∧（￢q）

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4. 高三某班课外演讲小组有四位男生三位女生，从中选出3位男生，2位女生，然后5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方式有（）

A . 864种 B . 432种 C . 288种 D . 144种

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5. 已知圆（x﹣m）²+y²=4上存在两点关于直线x﹣y﹣2=0对称，若离心率为 $\text{[math]}$ 的双曲线 $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 $\text{[math]}$ D . 4

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6.
已知一个几何的三视图如图所示，图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . 6 D . 10

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7. 已知随机变量ξ～N（3，a²），且cosφ=P（ξ＞3）（其中φ为锐角），若函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象与直线y=2相邻的两交点之间的距离为π，则函数f（x）的一条对称轴为（）

A . x= $\text{[math]}$ B . x= $\text{[math]}$ C . x= $\text{[math]}$ D . x= $\text{[math]}$

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8. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，| $\text{[math]}$ |=5，20a $\text{[math]}$ +15b $\text{[math]}$ +12c $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . ﹣ $\text{[math]}$ C . ﹣ $\text{[math]}$ D . ﹣8

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9. 已知各项为正的数列{a_n}的前n项的乘积为T_n ，点（T_n ， n²﹣15n）在函数y= $\text{[math]}$ x的图象上，则数列{log₂a_n}的前10项和为（）

A . ﹣140 B . 50 C . 124 D . 156

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10. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为1538，则判断框内可填入的条件为（）

A . n＞6？ B . n＞7？ C . n＞8？ D . n＞9？

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11. 已知直线l过抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点F且与x垂直，l与E所围成的封闭图形的面积为24，若点P为抛物线E上任意一点，A（4，1），则|PA|+|PF|的最小值为（）

A . 6 B . 4+2 $\text{[math]}$ C . 7 D . 4+2 $\text{[math]}$

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12. 对任意x∈[﹣1，1]，不等式﹣4≤x³+3|x﹣a|≤4恒成立，则实数a的取值范围为（）

A . [﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ] B . [﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ] C . [0， $\text{[math]}$ ] D . [0，1]

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二、填空题

13. 已知直线y=kx与圆C：（x﹣4）²+y²=r²相切，圆C以x轴为旋转轴转一周后，得到的几何体的表面积为S=16π，则k的值为．

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14. 已知a是第二象限角，P（t，4）为其终边上的一点，且cosa= $\text{[math]}$ ，则（x²+ $\text{[math]}$ ）（x+ $\text{[math]}$ ）⁶的展开式中常数项等于．

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15. 已知关于点（x，y）的不等式组 $\text{[math]}$ 表示的平面区域为D，则D内使得z=x²+y²取得最大值和最小值时的最优解组成的集合为．

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16. 在平面内，已知四边形ABCD，CD⊥AD，∠CBD= $\text{[math]}$ ，AD=5，AB=7，且cos2∠ADB+3cos∠ADB=1，则BC的长为．

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三、解答题

17. 已知各项为正的等比数列{a_n}的前n项和为S_n ， S₄=30，过点P（n，log₂a_n）和Q（n+2，log₂a_n+1）（n∈N^*）的直线的一个方向向量为（﹣1，﹣1）
1. （1）求数列{a_n}的通项公式；
2. （2）设b_n= $\text{[math]}$ ，数列{b_n}的前n项和为T_n ，证明：对于任意n∈N^* ，都有T_n $\text{[math]}$ ．
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18. 已知多面体ABC﹣A₁B₁C₁中，底面△ABC为等边三角形，边长为2，AA₁⊥平面ABC，四边形A₁ACC₁为直角梯形，CC₁与平面ABC所成的角为 $\text{[math]}$ ，AA₁=1
1. （1）若P为AB的中点，求证：A₁P∥平面BC₁C；
2. （2）求二面角A₁﹣BC₁﹣C的余弦值．
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19. 某品牌汽车4S店，对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养，每辆车一年内需要维修的人工费用为200元，汽车4S店记录了该品牌三种类型汽车各100辆到店维修的情况，整理得下表：
车型
A型
B型
C型
频数
20
40
40
假设该店采用分层抽样的方法从上维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机抽取10辆进行问卷回访．
1. （1）从参加问卷到访的10辆汽车中随机抽取两辆，求这两辆汽车来自同一类型的概率；
2. （2）某公司一次性购买该品牌A、B、C型汽车各一辆，记ξ表示这三辆车的一年维修人工费用总和，求ξ的分布列及数学期望（各型汽车维修的概率视为其需要维修的概率）；
3. （3）经调查，该品牌A型汽车的价格与每月的销售量之间有如下关系：
  价格（万元）
  25
  23.5
  22
  20.5
  销售量（辆）
  30
  33
  36
  39
  已知A型汽车的购买量y与价格x符合如下线性回归方程： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ x+80，若A型汽车价格降到19万元，请你预测月销售量大约是多少？
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20. 在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆P： $\text{[math]}$ （a＞b＞0）的右焦点，已知A（0，﹣2）与椭圆左顶点关于直线y=x对称，且直线AF的斜率为 $\text{[math]}$ ，
1. （1）求椭圆P的方程；
2. （2）过点Q（﹣1，0）的直线l交椭圆P于M、N两点，交直线x=﹣4于点E， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，证明：λ+μ为定值．
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21. 已知函数f（x）=lnx，g（x）= $\text{[math]}$ x²﹣kx；
1. （1）设k=m+ $\text{[math]}$ （m＞0），若函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，求实数m的取值范围；
2. （2）设M（x）=f（x）﹣g（x），若函数M（x）存在两个零点x₁ ， x₂（x₁＞x₂），且满足2x₀=x₁+x₂ ，问：函数M（x）在（x₀ ， M（x₀））处的切线能否平行于直线y=1，若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．
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22. 如图，已知圆O的内接四边形BCED，BC为圆O的直径，BC=2，延长CB，ED交于A点，使得∠DOB=∠ECA，过A作圆O的切线，切点为P，
1. （1）求证：BD=DE；
2. （2）若∠ECA=45°，求AP²的值．
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23. 在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的参数方程是 $\text{[math]}$ （θ为参数），曲线C与l的交点的极坐标为（2， $\text{[math]}$ ）和（2， $\text{[math]}$ ），
1. （1）求直线l的普通方程；
2. （2）设P点为曲线C上的任意一点，求P点到直线l的距离的最大值．
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24. 已知函数f（x）=m﹣|2x+1|﹣|2x﹣3|，若∃x₀∈R，不等式f（x₀）≥0成立，
1. （1）求实数m的取值范围；
2. （2）若x+2y﹣m=6，是否存在x，y，使得x²+y²=19成立，若存在，求出x，y值，若不存在，请说明理由．
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