2012年高考理数真题试卷（北京卷）

更新时间：2016-10-21 浏览次数：621 类型：高考真卷

一、选择题

1. 已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）

A . （﹣∞，﹣1） B . （﹣1， $\text{[math]}$ ） C . ﹙ $\text{[math]}$ ，3﹚ D . （3，+∞）

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2. 设不等式组 $\text{[math]}$ ，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 设a，b∈R．“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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4. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

A . 2 B . 4 C . 8 D . 16

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5. 如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（）

A . CE•CB=AD•DB B . CE•CB=AD•AB C . AD•AB=CD² D . CE•EB=CD²

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6. 从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（）

A . 24 B . 18 C . 12 D . 6

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7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）

A . 28+6 $\text{[math]}$ B . 30+6 $\text{[math]}$ C . 56+12 $\text{[math]}$ D . 60+12 $\text{[math]}$

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8. 某棵果树前n年的总产量S_n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）

A . 5 B . 7 C . 9 D . 11

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二、填空题

9. 直线 $\text{[math]}$ （t为参数）与曲线 $\text{[math]}$ （α为参数）的交点个数为．

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10. 已知﹛a_n﹜是等差数列，s_n为其前n项和．若a₁= $\text{[math]}$ ，s₂=a₃ ，则a₂=．

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11. 在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣ $\text{[math]}$ ，则b=．

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12. 在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线y²=4x的焦点F．且与该抛物线相交于A、B两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°．则△OAF的面积为．

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13. 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则 $\text{[math]}$ 的值为．

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14. 已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2^x﹣2，若同时满足条件：
①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．
则m的取值范围是

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三、解答题。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15. 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ ．
1. （1）求f（x）的定义域及最小正周期；
2. （2）求f（x）的单调递增区间．
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16. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，如图2．
1. （1）求证：A₁C⊥平面BCDE；
2. （2）若M是A₁D的中点，求CM与平面A₁BE所成角的大小；
3. （3）线段BC上是否存在点P，使平面A₁DP与平面A₁BE垂直？说明理由．
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17. 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
1. （1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
2. （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
3. （3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s²最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s²的值．
  （求：S²= $\text{[math]}$ [ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ]，其中 $\text{[math]}$ 为数据x₁ ， x₂ ， …，x_n的平均数）
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18. 已知函数f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx
1. （1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；
2. （2）当a²=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．
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19. 已知曲线C：（5﹣m）x²+（m﹣2）y²=8（m∈R）
1. （1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；
2. （2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．
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20. 设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，n），记r_i（A）为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C_j（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r₁（A）|，|R₂（A）|，…，|Rm（A）|，|C₁（A）|，|C₂（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
1. （1）如表A，求K（A）的值；
  1
  1
  ﹣0.8
  0.1
  ﹣0.3
  ﹣1
2. （2）设数表A∈S（2，3）形如
  1
  1
  c
  a
  b
  ﹣1
  求K（A）的最大值；
3. （3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．
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