内蒙古赤峰市宁城县2020-2021学年高三上学期理数9月摸...

更新时间：2020-12-14 浏览次数：120 类型：月考试卷

一、单选题

1. 若集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 没有公共点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影为（）

A . -1 B . -2 C . 2 D . 1

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5. 有一支队伍长 $\text{[math]}$ ，以速度 $\text{[math]}$ 匀速前进．排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，往返速度不变，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了 $\text{[math]}$ ，则传令兵往返行走的路程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个不同的平面， $\text{[math]}$ 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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7. (2019高三上·烟台期中) 设正实数 $\text{[math]}$ 分别满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )在区间 $\text{[math]}$ 上单调，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小正周期为（）

A . $\text{[math]}$ B . π C . 2π D . 4π

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9. (2019高三上·广东月考) 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正 $\text{[math]}$ 边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出 $\text{[math]}$ 的值分别为（）
（参考数据： $\text{[math]}$ ）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作一条渐近线的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，且交双曲线的左支于 $\text{[math]}$ 点，若 $\text{[math]}$ ，则双曲线的离心率为（）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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11. 已知A、B为半径为2的球O表面上的两点，且 $\text{[math]}$ .平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ ，若平面 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 截球O所得的截面分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ 有两个零点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则有下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．正确结论的是（）

A . ②③④ B . ①③④ C . ①②③ D . ①②③④

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二、填空题

13. 若实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是.

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14. 某大学对1000名学生的自主招生考试水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图，则这1000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于80分的学生数是.

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15. 我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面所取得的突破性进展．孪生素数就是指相差2的素数对，例如5和7，“孪生素数猜想”正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是素数．素数对 $\text{[math]}$ 称为孪生素数．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，这两个数为孪生素数的概率是 $\text{[math]}$ ．

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16. (2020高二下·唐山期中) 若直线 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 的切线，也是曲线 $\text{[math]}$ 的切线，则 $\text{[math]}$ ．

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三、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ .
2. （2）求证数列 $\text{[math]}$ 为等差数列.
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18. 如图．在 $\text{[math]}$ 中，点P在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$
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19. 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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20. 已知点 $\text{[math]}$ 在曲线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 上异于点 $\text{[math]}$ 的任意两点， $\text{[math]}$ .
1. （1）若曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，用解析法证明直线 $\text{[math]}$ 恒过定点；
2. （2）若曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，有没有与（1）类似的事实？请预测出相应的结论，并给出证明或证伪.
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21. 某医药开发公司实验室有 $\text{[math]}$ 瓶溶液，其中 $\text{[math]}$ 瓶中有细菌 $\text{[math]}$ ，现需要把含有细菌 $\text{[math]}$ 的溶液检验出来，有如下两种方案：
方案一：逐瓶检验，则需检验 $\text{[math]}$ 次；

方案二：混合检验，将 $\text{[math]}$ 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 瓶溶液全部不含有细菌 $\text{[math]}$ ；若检验结果含有细菌 $\text{[math]}$ ，就要对这 $\text{[math]}$ 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为 $\text{[math]}$ .

参考数据： $\text{[math]}$
1. （1）假设 $\text{[math]}$ ，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌 $\text{[math]}$ 的概率；
2. （2）现对 $\text{[math]}$ 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌 $\text{[math]}$ 的概率均为 $\text{[math]}$ .
  若采用方案一.需检验的总次数为 $\text{[math]}$ ，若采用方案二.需检验的总次数为 $\text{[math]}$ .
  
  (i)若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的期望相等.试求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式 $\text{[math]}$ ；
  
  (ii)若 $\text{[math]}$ ，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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22. 已知曲线 $\text{[math]}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 的顶点都在 $\text{[math]}$ 上，且A、B、C、D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求曲线 $\text{[math]}$ 的普通方程及点A、B、C、D的直角坐标；

（Ⅱ）设P为 $\text{[math]}$ 上任意一点，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）若不等式 $\text{[math]}$ 对一切实数x恒成立，求实数a的取值集合A；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$

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