2016年高考理数真题试卷（上海卷）

更新时间：2016-06-12 浏览次数：1420 类型：高考真卷

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1. 设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为．

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2. 设Z= $\text{[math]}$ ，其中i为虚数单位，则Imz=．

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3. 已知平行直线l₁：2x+y﹣1=0，l₂：2x+y+1=0，则l₁ ， l₂的距离．

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4. 某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是（米）．

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5. 已知点（3，9）在函数f（x）=1+a^x的图象上，则f（x）的反函数f^﹣¹（x）=．

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6. 在正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD的边长为3，BD₁与底面所成角的大小为arctan $\text{[math]}$ ，则该正四棱柱的高等于．

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7. 方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为．

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8. 在（ $\text{[math]}$ ）ⁿ的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于．

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9. 已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．

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10. 设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组 $\text{[math]}$ 无解，则a+b的取值范围为．

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11. 无穷数列{a_n}由k个不同的数组成，S_n为{a_n}的前n项和，若对任意n∈N^* ， S_n∈{2，3}，则k的最大值为．

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12. 在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），P是曲线y= $\text{[math]}$ 上一个动点，则 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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13. 设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣ $\text{[math]}$ ）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．

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14.
如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A₁A₂…A₈的中心，A₁（1，0）任取不同的两点A_i ， A_j ，点P满足 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则点P落在第一象限的概率是．

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二、选择题

15. 设a∈R，则“a＞1”是“a²＞1”的（　　）

A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充要条件 D . 既非充分也非必要条件

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16.
下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（　　）

A . ρ=6+5cosθ B . ρ=6+5sinθ C . ρ=6﹣5cosθ D . ρ=6﹣5sinθ

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17. 已知无穷等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n ，且 $\text{[math]}$ =S，下列条件中，使得2S_n＜S（n∈N^*）恒成立的是（　　）

A . a₁＞0，0.6＜q＜0.7 B . a₁＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6 C . a₁＞0，0.7＜q＜0.8 D . a₁＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7

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18. 设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（　　）

A . ①和②均为真命题 B . ①和②均为假命题 C . ①为真命题，②为假命题 D . ①为假命题，②为真命题

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三、解答题（74分）

19.
将边长为1的正方形AA₁O₁O（及其内部）绕OO₁旋转一周形成圆柱，如图，AC长为 $\text{[math]}$ π，A₁B₁长为 $\text{[math]}$ ，其中B₁与C在平面AA₁O₁O的同侧．
1. （1）求三棱锥C﹣O₁A₁B₁的体积；
2. （2）求异面直线B₁C与AA₁所成的角的大小．
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20.
有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S₁和S₂ ，其中S₁中的蔬菜运到河边较近，S₂中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S₁和S₂的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图
1. （1）求菜地内的分界线C的方程；
2. （2）菜农从蔬菜运量估计出S₁面积是S₂面积的两倍，由此得到S₁面积的经验值为 $\text{[math]}$ ．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S₁面积的经验值．
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21. 双曲线x²﹣ $\text{[math]}$ =1（b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，直线l过F₂且与双曲线交于A，B两点．
1. （1）直线l的倾斜角为 $\text{[math]}$ ，△F₁AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
2. （2）设b= $\text{[math]}$ ，若l的斜率存在，且（ $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ =0，求l的斜率．
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22. 已知a∈R，函数f（x）=log₂（ $\text{[math]}$ +a）．
1. （1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；
2. （2）若关于x的方程f（x）﹣log₂[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．
3. （3）设a＞0，若对任意t∈[ $\text{[math]}$ ，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
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23. 若无穷数列{a_n}满足：只要a_p=a_q（p，q∈N^*），必有a_p+1=a_q+1 ，则称{a_n}具有性质P．
1. （1）若{a_n}具有性质P，且a₁=1，a₂=2，a₄=3，a₅=2，a₆+a₇+a₈=21，求a₃；
2. （2）若无穷数列{b_n}是等差数列，无穷数列{c_n}是公比为正数的等比数列，b₁=c₅=1；b₅=c₁=81，a_n=b_n+c_n ，判断{a_n}是否具有性质P，并说明理由；
3. （3）设{b_n}是无穷数列，已知a_n+1=b_n+sina_n（n∈N^*），求证：“对任意a₁ ， {a_n}都具有性质P”的充要条件为“{b_n}是常数列”．
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