河南省郑州市2019-2020学年高二下学期文数期末考试试卷

更新时间：2020-09-16 浏览次数：247 类型：期末考试

一、单选题

1. 两个变量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们残差平方和如下，其中拟合效果最好的模型是（）.

A . 0.09 B . 0.13 C . 0.21 D . 0.88

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2. 用反证法证明“若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 至少有一个为0”时，假设正确的（）.

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中只有一个为0 B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 全为0 C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 至少有一个不为0 D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 全不为0

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3. 欧拉公式 $\text{[math]}$ 把自然对数的底数 $\text{[math]}$ ，虚数单位 $\text{[math]}$ ，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）.

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 下列框图中，可作为流程图的是（）

A . 整数指数幂→有理指数幂→无理指数幂 B . 随机事件→频率→概率 C . 入库→找书→阅览→借书→出库→还书 D . 推理→图像与性质→定义

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5. 点 $\text{[math]}$ 的直角坐标为 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的极坐标为（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2019高二下·哈尔滨期末) 观察下列各式： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的末四位数字为（）

A . 3125 B . 5625 C . 0625 D . 8125

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7. 2020年初，新型冠状病毒（ $\text{[math]}$ ）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：

周数（ $\text{[math]}$ ）

1

2

3

4

5

治愈人数（ $\text{[math]}$ ）

2

17

36

103

142

由表格可得 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程为 $\text{[math]}$ ，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（）.

A . 5 B . -13 C . 13 D . 0

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8. 德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于 $\text{[math]}$ 的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算开创先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于 $\text{[math]}$ 的级数展开式计算 $\text{[math]}$ 的近似值（其中 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 的近似值）”.若输入n=9，输出否的结果 $\text{[math]}$ 可以表示为（）.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 以平面直角坐标系的原点为极点，以 $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）上的点到曲线 $\text{[math]}$ 的最短距离是（）.

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（）

A . 甲 B . 乙 C . 丙 D . 丁

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11. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦• $\text{[math]}$ •曼德尔布罗特( $\text{[math]}$ )在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第13行的实心圆点的个数是（）

A . 55个 B . 89个 C . 144个 D . 233个

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12. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 在一组样本数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ 互不相等）的散点图中，若所有样本点 $\text{[math]}$ 都在直线 $\text{[math]}$ 上，则这组样本数据的样本相关系数为.

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14. 化简： $\text{[math]}$ .

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15. 刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数式 $\text{[math]}$ 是一个确定值（数式中的省略号表示按此规律无限重复），该数式的值可以用如下方法求得：令原式 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，取正数得 $\text{[math]}$ .用类似的方法可得 $\text{[math]}$ .

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16. 已知数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记 $\text{[math]}$ 为数阵从左至右的 $\text{[math]}$ 列，从上到下的 $\text{[math]}$ 行共 $\text{[math]}$ 个数的和，则数列 $\text{[math]}$ 的前2020项和为.

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三、解答题

17. 设实部为正数的复数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，且复数 $\text{[math]}$ 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.
1. （1）求复数 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为纯虚数，求实数 $\text{[math]}$ 的值.
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18. 在新冠肺炎流行期间，为了指导不同人群科学合理选择和使用口罩，现在对 $\text{[math]}$ 口罩的使用范围进行调查.现随机抽取40人进行调查，其中45岁以下的有20人.在接受调查的40人中，对于 $\text{[math]}$ 这种口罩了解的占50%，在了解的人中45岁以上（含45岁）的人数占 $\text{[math]}$ .

参考公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

参考数据：

$\text{[math]}$	0.10	0.05	0.010	0.001
$\text{[math]}$	2.706	3.841	6.635	10.828

（1）将答题卡上的列联表补充完整；

	了解	不了解	总计
45岁以下
45岁以上（含45岁）
总计			40

（2）判断是否有99%的把握认为对这种 $\text{[math]}$ 口罩的了解与否与年龄有关.

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19. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 的普通方程和曲线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，交曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ .
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20. 对于命题 $\text{[math]}$ ：存在一个常数 $\text{[math]}$ ，使得不等式 $\text{[math]}$ 对任意正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立.
1. （1）试给出这个常数 $\text{[math]}$ 的值（不需要证明）；
2. （2）在（1）所得结论的条件下证明命题 $\text{[math]}$ .
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21. 在直角坐标系中，已知曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），以原点为极点， $\text{[math]}$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ .
1. （1）写出曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程，并指出是何种曲线；
2. （2）若射线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，射线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 面积的取值范围.
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22. 某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量 $\text{[math]}$ （单位：亿元）对年销售额 $\text{[math]}$ （单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 均为常数， $\text{[math]}$ 为自然对数的底数．

现该公司收集了近12年的年研发资金投入量 $\text{[math]}$ 和年销售额 $\text{[math]}$ 的数据， $\text{[math]}$ ，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，经计算得如下数据：

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
1. （1）设 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的相关系数为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的相关系数为 $\text{[math]}$ ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
2. （2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的回归方程（系数精确到0.01）；
  （ii）若下一年销售额 $\text{[math]}$ 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量 $\text{[math]}$ 是多少亿元？
  
  附：①相关系数 $\text{[math]}$ ，回归直线 $\text{[math]}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
  
  ② 参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
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