2020年高考数学真题试卷（北京卷）

更新时间：2020-07-13 浏览次数：593 类型：高考真卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为（）．

A . -5 B . 5 C . -10 D . 10

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4. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．

A . 4 B . 5 C . 6 D . 7

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集是（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作 $\text{[math]}$ 于Q，则线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线（）．

A . 经过点O B . 经过点P C . 平行于直线 $\text{[math]}$ D . 垂直于直线 $\text{[math]}$

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8. 在等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．记 $\text{[math]}$ ，则数列 $\text{[math]}$ （）．

A . 有最大项，有最小项 B . 有最大项，无最小项 C . 无最大项，有最小项 D . 无最大项，无最小项

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9. 已知 $\text{[math]}$ ，则“存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）．

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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10. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ $\text{[math]}$ Day）．历史上，求圆周率 $\text{[math]}$ 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为 $\text{[math]}$ 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， $\text{[math]}$ 的近似值的表达式是（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题共5题，每小题5分，共25分

11. 函数 $\text{[math]}$ 的定义域是．

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12. 若函数 $\text{[math]}$ 的最大值为2，则常数 $\text{[math]}$ 的一个取值为．

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13. 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 的大小评价在 $\text{[math]}$ 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在 $\text{[math]}$ 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在 $\text{[math]}$ 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在 $\text{[math]}$ 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在 $\text{[math]}$ 这三段时间中，在 $\text{[math]}$ 的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是．

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14. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，则C的右焦点的坐标为；C的焦点到其渐近线的距离是．

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15. 已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为2，点P满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

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三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，E为 $\text{[math]}$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．

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17. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值：

（Ⅱ） $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积．

条件①： $\text{[math]}$ ；

条件②： $\text{[math]}$ ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

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18. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

	男生		女生
	支持	不支持	支持	不支持
方案一	200人	400人	300人	100人
方案二	350人	250人	150人	250人

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．

（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；

（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为 $\text{[math]}$ ，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 $\text{[math]}$ ，试比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小．（结论不要求证明）

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19. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求曲线 $\text{[math]}$ 的斜率等于 $\text{[math]}$ 的切线方程；

（Ⅱ）设曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．

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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）过点 $\text{[math]}$ 的直线l交椭圆C于点 $\text{[math]}$ ,直线 $\text{[math]}$ 分别交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的值．

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21. 已知 $\text{[math]}$ 是无穷数列．给出两个性质：
①对于 $\text{[math]}$ 中任意两项 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中都存在一项 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ；

②对于 $\text{[math]}$ 中任意项 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中都存在两项 $\text{[math]}$ ．使得 $\text{[math]}$ ．

(Ⅰ)若 $\text{[math]}$ ，判断数列 $\text{[math]}$ 是否满足性质①，说明理由；

(Ⅱ)若 $\text{[math]}$ ，判断数列 $\text{[math]}$ 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若 $\text{[math]}$ 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： $\text{[math]}$ 为等比数列.

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