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江苏省苏州市2020届三校高三下学期5月联考数学试题

更新时间：2020-07-26 浏览次数：156 类型：高考模拟

一、填空题

1. 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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2. 设 $\text{[math]}$ ，i为虚数单位，则 $\text{[math]}$ .

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3. 为了做好防疫工作，要对复工员工进行体温检测，从4名（含甲、乙两人）随机选2名，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是.

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4.
运行如图所示的伪代码，其结果为．

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5. 如图是一次摄影大赛上7位评委给某参赛作品打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，则该作品的平均分为.

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6. 函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ，且它的图象过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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7. 若抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点是双曲线 $\text{[math]}$ 的一个焦点，则 $\text{[math]}$ .

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8. 已知 $\text{[math]}$ 为锐角，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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9. 等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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10. 已知正实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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11. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，其棱长为1，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的表面积为.

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12. 由圆 $\text{[math]}$ 外一点 $\text{[math]}$ 引直线 $\text{[math]}$ 交圆C于A、B两点，则线段AB中点M到x轴的距离的最小值为.

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13. $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点O ， G分别为 $\text{[math]}$ 的外心、重心，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为.

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14. 设 $\text{[math]}$ 是定义在R上的偶函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有4个不同的实数根，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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二、解答题

15. 在△ $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别是 $\text{[math]}$ ，已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，△ $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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16. 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，CA＝CB ， AA₁＝ $\text{[math]}$ AB ， D是AB的中点．
1. （1）求证：BC₁∥平面A₁CD；
2. （2）若点P在线段BB₁上，且BP＝ $\text{[math]}$ BB₁ ，求证：AP⊥平面A₁CD.
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17. 植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：

方案① 多边形为直角三角形 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），如图1所示，其中 $\text{[math]}$ ；

方案② 多边形为等腰梯形 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），如图2所示，其中 $\text{[math]}$ ．

请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．

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18. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆C上.
1. （1）求椭圆C的标准方程；
2. （2）过坐标原点的直线交C于P ， Q两点，点P在第一象限， $\text{[math]}$ 轴，垂足为E ，连结QE并延长交C于点G.
  ①求证： $\text{[math]}$ 是直角三角形；
  
  ②求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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19. 设函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）已知函数 $\text{[math]}$ 有两个极值点 $\text{[math]}$
  ①比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小；
  
  ②若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有且只有一个零点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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20. 数列 $\text{[math]}$ 的数列 $\text{[math]}$ 的首项 $\text{[math]}$ ，前n项和为 $\text{[math]}$ ，若数列 $\text{[math]}$ 满足：对任意正整数n ， k ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 总成立，则称数列 $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 数列”
1. （1）若 $\text{[math]}$ 是公比为2的等比数列，试判断 $\text{[math]}$ 是否为“ $\text{[math]}$ ”数列？
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是公差为d的等差数列，且是“ $\text{[math]}$ 数列”，求实数d的值；
3. （3）若数列 $\text{[math]}$ 既是“ $\text{[math]}$ ”，又是“ $\text{[math]}$ ”，求证：数列 $\text{[math]}$ 为等差数列.
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21. 已知矩阵 $\text{[math]}$ ，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为 $\text{[math]}$ ，属于特征值1的一个特征向量为 $\text{[math]}$ ，求矩阵A ．

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22. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，椭圆C的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数）.若直线 $\text{[math]}$ 与椭圆C交于A ， B两点，求线段AB的长.

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23. 已知 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

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24. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB＝ $\text{[math]}$ ，CE＝1，CE⊥平面ABCD ．
1. （1）求异面直线DF与BE所成角的余弦值；
2. （2）求二面角A－DF－B的大小．
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25. 在平面直角坐标系xOy中，点P(x₀ ， y₀)在曲线y＝x²(x＞0)上．已知A(0，－1)， $\text{[math]}$ ，n∈N*．记直线AP_n的斜率为k_n ．
1. （1）若k₁＝2，求P₁的坐标；
2. （2）若k₁为偶数，求证：k_n为偶数．
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