福建省福州市2020届高三理数质量检测试卷

更新时间：2020-07-26 浏览次数：179 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合M＝ $\text{[math]}$ ，N＝{x|2^x＜4}，则M∩N＝（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设复数z满足|z+1|＝|z-i|，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）

A . x＝0 B . y＝0 C . x-y＝0 D . x+y＝0

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3. 如图，网格纸上小正方形的边长为1．粗线画出的是某三棱帷的正视图、俯视图，则该三棱锥的体积为（）

A . 81 B . 27 C . 18 D . 9

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4. 2021年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）

A . 甲的物理成绩领先年级平均分最多 B . 甲有2个科目的成绩低于年级平均分 C . 甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史 D . 对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果

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5. $\text{[math]}$ 的展开式中x³的系数为（）

A . ﹣7 B . 5 C . 6 D . 7

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6. 已知数列{a_n}为等差数列，若a₁ ， a₆为函数 $\text{[math]}$ 的两个零点，则a₃a₄＝（）

A . -14 B . 9 C . 14 D . 20

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7. 已知函数 $\text{[math]}$ 为偶函数，当x＜0时， $\text{[math]}$ ，则曲线 $\text{[math]}$ 在x＝1处的切线方程为（）

A . x-y＝0 B . x-y-2＝0 C . x+y-2＝0 D . 3x-y-2＝0

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8. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线与圆 $\text{[math]}$ 相交于A，B两点，若|AB|＝2，则C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 4

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9. 已知函数 $\text{[math]}$ 某个周期的图象如图所示，A，B分别是 $\text{[math]}$ 图象的最高点与最低点，C是 $\text{[math]}$ 图象与x轴的交点，则tan∠BAC＝（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知P为边长为2的正方形ABCD所在平面内一点，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . -1 B . -3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 概率论起源于博弈游戏.17世纪，曾有一个“赌金分配“的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金48枚金币，先赢3局者可获得全部赌金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．向这96枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率“的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（）

A . 甲48枚，乙48枚 B . 甲64枚，乙32枚 C . 甲72枚，乙24枚 D . 甲80枚，乙16枚

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12. 已知二面角P﹣AB﹣C的大小为120°，且∠PAB＝∠ABC＝90°，AB＝AP，AB+BC＝6．若点P，A，B，C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为（）

A . 45π B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 设x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ 则z＝x-3y的最小值为

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14. 设数列{a_n}满足a₁＝1，a_n+1＝4a_n ，则a₁a₂…a_n＝

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15. 已知两条抛物线C：y²＝2x，E：y²＝2px（p＞0且p≠1），M为C上一点（异于原点O），直线OM与E的另一个交点为N．若过M的直线l与E相交于A，B两点，且△ABN的面积是△ABO面积的3倍，则p＝

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16. 已知函 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用max{m，n}表示m，n中的最大值，设 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，则实数a的取值范围为

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三、解答题

17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求B；
2. （2）若△ABC的面积等于 $\text{[math]}$ ，求△ABC的周长的小值．
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18. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，△ABC是边长为6的等边三角形，D，E分别为AA₁ ， BC的中点．
1. （1）证明：AE//平面BDC₁；
2. （2）若异面直线BC₁与AC所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ．求DE与平面BDC₁所成角的正弦值．
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19. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$ ，且过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求C的方程；
2. （2）若直线l与C有且只有一个公共点，l与圆x²+y²＝6交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别记为k₁ ， k₂ ．试判断k₁∙k₂是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由．
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20. 某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x)和物理成绩(y)，绘制成如图散点图：

根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B．经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 其中x_i ， y_i分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，i＝1，2，…，42，y与x的相关系数r＝0.82．
1. （1）若不剔除A，B两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为r₀ ．试判断r₀与r的大小关系，并说明理由；
2. （2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B考生加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到个位）；
3. （3）从概率统计规律看，本次考试该地区的物理成绩ξ服从正态分布 $\text{[math]}$ ，以剔除后的物理成绩作为样本，用样本平均数 $\text{[math]}$ 作为μ的估计值，用样本方差s²作为σ²的估计值．试求该地区5000名考生中，物理成绩位于区间（62.8，85.2）的人数Z的数学期望．
  附：①回归方程 $\text{[math]}$ 中： $\text{[math]}$
  
  ②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
  
  ③ $\text{[math]}$ 11.2
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21. 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数，且 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 $\text{[math]}$ （φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
1. （1）求C₁的极坐标方程；
2. （2）若C₁与曲线C₂：ρ＝2sinθ交于A，B两点，求|OA|∙|OB|的值．
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23. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当a＝3时，解不等式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若不等式 $\text{[math]}$ 的解集非空，求实数a的取值范围．
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