内蒙古赤峰市2020届高三下学期理数模拟考试试卷

更新时间：2020-07-08 浏览次数：171 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . 3i C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m³)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m³的住户的户数为（）

A . 10 B . 50 C . 60 D . 140

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4. 设等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. (2020·河南模拟) 若双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的一条渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 若 $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 10 B . 8 C . 5 D . 3

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8. 关于函数 $\text{[math]}$ 有下述四个结论：（）
① $\text{[math]}$ 是偶函数；② $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是单调递增函数；③ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值为2；④ $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有4个零点.

其中所有正确结论的编号是（）

A . ①②④ B . ①③ C . ①④ D . ②④

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9. 已知等边△ABC内接于圆 $\text{[math]}$ ：x²+ y²=1，且P是圆τ上一点，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . $\text{[math]}$ D . 2

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10. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点P，且P点在椭圆内恒成立，则椭圆C的离心率取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的可导函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是奇函数，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 已知非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为.

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14. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别是 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止 $\text{[math]}$ ），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为.

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三、双空题

16. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且有 $\text{[math]}$ ，则此鳖臑的外接球 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 均在球 $\text{[math]}$ 表面上）的直径为；过 $\text{[math]}$ 的平面截球 $\text{[math]}$ 所得截面面积的最小值为.

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四、解答题

17. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为等边三角形，平面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）点F在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角的余弦值.
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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ .
1. （1）求证:数列 $\text{[math]}$ 为等比数列；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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19. 为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3:2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5:3.

附表及公式： $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有 $\text{[math]}$ 的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？

	男生	女生	总计
喜欢阅读中国古典文学
不喜欢阅读中国古典文学
总计

（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记 $\text{[math]}$ 为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求5的分布列及数学期望 $\text{[math]}$

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20. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为原点，其焦点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为M，且 $\text{[math]}$ .若点P为C的准线上的任意一点，过点P作C的两条切线 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为切点.
1. （1）求抛物线C的方程；
2. （2）求证：直线 $\text{[math]}$ 恒过定点，并求 $\text{[math]}$ 面积的最小值.
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）设 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间，并证明函数 $\text{[math]}$ 有唯一零点.
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上不单调，证明： $\text{[math]}$ .
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22. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线l的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求曲线C与l的交点坐标；
2. （2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为45°的直线，交l于点A，且 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，求a的值.
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23. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）解不等式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）记函数 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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