吉林省延边州2020届高三下学期理数4月教学质量检测试卷

更新时间：2020-06-18 浏览次数：148 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 复数 $\text{[math]}$ 的实部为a，虚部为b，则 $\text{[math]}$ （）

A . -3 B . -2 C . 2 D . 3

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3. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -81 B . -9 C . 9 D . 81

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4. 《九章算术．均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，上下人差均等，问各得几何．”其意思为“已知甲､乙､丙､丁､戊五人分10钱，甲､乙两人所得与丙､丁､戊三人所得相同，且甲､乙､丙､丁､戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，乙所得为（）

A . $\text{[math]}$ 钱 B . $\text{[math]}$ 钱 C . $\text{[math]}$ 钱 D . $\text{[math]}$ 钱

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5. 要得到 $\text{[math]}$ 的图象，只需将 $\text{[math]}$ 的图象（）

A . 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度 B . 向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度 C . 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度 D . 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度

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6. 命题“对 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 在正方体 $\text{[math]}$ 中，点E､F､G分别为棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，给出下列四个结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；③异面直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所成角的大小为 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．其中所有正确结论的序号为（）

A . ①② B . ②③ C . ①②③ D . ①②④

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8. 已知圆 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 上总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 2013年5月，华人数学家张益唐教授发表论文《素数间的有界距离》，破解了“孪生素数猜想”这一世纪难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式．孪生素数就是指相差2的素数对，最小的6对孪生素数是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．现从这6对孪生素数中取2对进行研究，则取出的4个素数的和大于100的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的两个焦点，以线段 $\text{[math]}$ 为边作正三角形 $\text{[math]}$ ，若边 $\text{[math]}$ 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 三棱锥 $\text{[math]}$ 内接于半径为2的球中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积的最大值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ 若方程f（x）=m有4个不同的实根x₁ ， x₂ ， x₃ ， x₄ ，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄ ，则（ $\text{[math]}$ ）（x₃+x₄）=（）

A . 6 B . 7 C . 8 D . 9

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二、填空题

13. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，含 $\text{[math]}$ 的项的系数是

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14. 在等比数列 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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15. 若函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足：存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“友导”函数．已知函数 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的“友导”函数，则k的取值范围是

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16. 数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线 $\text{[math]}$ 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上存在到原点的距离超过 $\text{[math]}$ 的点；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．

其中，所有错误结论的序号是．

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三、解答题

17. 在锐角 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求边 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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18. 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，E分别是AC， $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，得到如图所示的四棱锥 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，设F为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的的正弦值．
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19. 某村为了脱贫致富，引进了两种麻鸭品种，一种是旱养培育的品种，另一种是水养培育的品种．为了了解养殖两种麻鸭的经济效果情况，从中随机抽取500只麻鸭统计了它们一个季度的产蛋量（单位：个），制成了如图的频率分布直方图，且已知麻鸭的产蛋量在 $\text{[math]}$ 的频率为0.66．

附： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（1）求a，b的值；
（2）已知本次产蛋量近似服从 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 近似为样本平均数， $\text{[math]}$ 似为样本方差）．若本村约有10000只麻鸭，试估计产蛋量在110~120的麻鸭数量（以各组区间的中点值代表该组的取值）．

（3）若以正常产蛋90个为标准，大于90个认为是良种，小于90个认为是次种．根据统计得出两种培育方法的 $\text{[math]}$ 列联表如下，请完成表格中的统计数据，并判断是否有99.5%的把握认为产蛋量与培育方法有关．

	良种	次种	总计
旱养培育		160	260
水养培育	60
总计		340	500

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20. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立，请求出a的取值范围．
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上，直线 $\text{[math]}$ 交椭圆于M，N两点．
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点），求m的值；
3. （3）设点N关于x轴对称点为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 不重合），且直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点P，试问 $\text{[math]}$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
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22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），以坐标原点 $\text{[math]}$ 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）若射线 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于A，B两点，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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23. 设函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）解不等式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若存在 $\text{[math]}$ 使不等式 $\text{[math]}$ 成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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