广东省湛江市2020届普通高考理数测试试卷（一)

更新时间：2020-06-29 浏览次数：147 类型：高考模拟

一、单选题

1. 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是虚数单位），则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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3. (2020·湛江模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则a，b，c的大小关系是（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2020·湛江模拟) 已知直线a,b，平面 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的（）

A . 充分但不必要条件 B . 必要但不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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5. (2020·湛江模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向上的投影为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 为增函数，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. “岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”．自新冠肺炎疫情爆发以来，全国各省争相施援湖北．截至3月初，山西省共派出13批抗疫医疗队前往湖北，支援抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情．某医院组建的由7位专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则不同的安排方案共有（）

A . 105种 B . 210种 C . 630种 D . 1260种

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9. 点 $\text{[math]}$ 的坐标 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 直线 $\text{[math]}$ 经过点P，则实数z的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2020·湛江模拟) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，过 $\text{[math]}$ 的直线与双曲线左、右两支分别交于点P， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，M为PQ的中点，且 $\text{[math]}$ ，则双曲线的离心率为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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11. 在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则三棱柱 $\text{[math]}$ 的外接球的体积与三棱柱的体积之比为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴的两个相邻交点的横坐标为 $\text{[math]}$ ，下面4个有关函数 $\text{[math]}$ 的结论：
①函数 $\text{[math]}$ 的图象关于原点对称；②在区间 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一条对称轴；④将 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，得到 $\text{[math]}$ 的图象，若 $\text{[math]}$ 为两个函数图象的交点，则 $\text{[math]}$ 面积的最小值为 $\text{[math]}$ ．

其中正确的结论个数为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二、填空题

13. (2020·湛江模拟) 一组样本数据10，23，12，5，9， $\text{[math]}$ ，21， $\text{[math]}$ ，22的平均数为16，中位数为21，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 2019国际乒联世界巡回赛男子单打决赛在甲、乙两位选手间进行，比赛实行七局四胜制（先获得四局胜利的选手获胜），已知每局比赛甲选手获胜的概率是 $\text{[math]}$ ，且前五局比赛甲 $\text{[math]}$ 领先，则甲获得冠军的概率是．

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15. 已知 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 三个内角 $\text{[math]}$ 的对边， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 分别为边 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为．

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16. (2020·湛江模拟) 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，F是抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，过F的直线与抛物线交于A，B两点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为．

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三、解答题

17. 已知 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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18. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，得到如图2所示的三棱锥 $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 为直二面角．
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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19. (2020·湛江模拟) 我国全面二孩政策已于2016年1月1日起正式实施．国家统计局发布的数据显示，从2012年到2017年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在5‰上下波动（如图）．

为了了解年龄介于24岁至50岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门按年龄分为9组，每组选取150对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到下表：

年龄区间	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
有意愿数	80	81	87	86	84	83	83	70	66

（参考数据和公式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

（1）设每个年龄区间的中间值为x，有意愿数为y，求样本数据的线性回归直线方程，并求该模型的相关系数r（结果保留两位小数）；
（2）从 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这五个年龄段中各选出一对夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这5对夫妻中任选2对夫妻．求其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率．

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20. 已知原点O到动直线 $\text{[math]}$ 的距离为2，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的距离分别与 $\text{[math]}$ 到直线l的距离相等．
1. （1）证明 $\text{[math]}$ 为定值，并求点P的轨迹方程；
2. （2）是否存在过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ ，与P点的轨迹交于 $\text{[math]}$ 两点，Q为线段 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出直线 $\text{[math]}$ 的方程；若不存在，请说明理由．
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）设 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的单调减区间及极大值；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ 有两个极值点 $\text{[math]}$ ，
  ①求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  
  ②求证： $\text{[math]}$ ．
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22. (2020·湛江模拟) 在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
2. （2）设直线 $\text{[math]}$ 与曲线C交于A，B两点（A点在B点左边）与直线l交于点M．求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的值．
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23. (2020·湛江模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，解不等式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若对任意 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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