北京市海淀区2016-2017学年高一上学期数学期末考试试卷

更新时间：2017-08-31 浏览次数：417 类型：期末考试

一、一.选择题

1. (2017高一上·海淀期末) 已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（）

A . 1∈∁_U（M∪P） B . 2∈∁_U（M∪P） C . 3∈∁_U（M∪P） D . 6∉∁_U（M∪P）

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2. (2017高一上·海淀期末) 下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（）

A . f（x）=x²﹣4x B . g（x）=3x+1 C . h（x）=3^﹣^x D . t（x）=tanx

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3. (2017高一上·海淀期末) 已知向量 $\text{[math]}$ =（1，3）， $\text{[math]}$ =（3，t），若 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，则实数t的值为（）

A . ﹣9 B . ﹣1 C . 1 D . 9

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4. (2017高一上·海淀期末) 下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（）

A . f（x）=x $\text{[math]}$ B . f（x）=sinx C . f（x）=cosx D . f（x）=log₂（x²+1）

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5. (2017高一上·海淀期末) 代数式sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+cos（ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ）的值为（）

A . ﹣1 B . 0 C . 1 D . $\text{[math]}$

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6. (2017高一上·海淀期末) 在边长为1的正方形ABCD中，向量 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2017高一上·海淀期末) 如果函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（ $\text{[math]}$ ，0）成中心对称（|φ|＜ $\text{[math]}$ ），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（）

A . x=﹣ $\text{[math]}$ B . x= $\text{[math]}$ C . x= $\text{[math]}$ D . x= $\text{[math]}$

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8. 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ 其中M∪P=R，则下列结论中一定正确的是（）

A . 函数f（x）一定存在最大值 B . 函数f（x）一定存在最小值 C . 函数f（x）一定不存在最大值 D . 函数f（x）一定不存在最小值

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二、二.填空题

9. (2016高一上·南昌期中) 函数y= $\text{[math]}$ 的定义域为．

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10. (2017高一上·海淀期末) 已知a=4^0.5 ， b=0.5⁴ ， c=log_0.54，则a，b，c从小到大的排列为．

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11. (2017高一上·海淀期末) 已知角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣ $\text{[math]}$ ，则tanα=．

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12. (2017高一上·海淀期末) 已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）
（i）若∠ACB是直角，则x=
（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是．

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13. (2017高一上·海淀期末) 燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog₂ $\text{[math]}$ ．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到单位．

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14. 已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x
1. （1）当a= $\text{[math]}$ 时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为；
2. （2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为．
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三、三.解答题

15. (2017高一上·海淀期末) 已知函数f（x）=x²+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c的取值范围；
（Ⅲ）求证：不等式f（c²+1）＞f（c）对任意c∈R成立．

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16. (2017高一上·海淀期末) 已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）
x
﹣ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
f（x）
0
2
0
﹣2
0
（Ⅰ）请写出函数f（x）的最小正周期和解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[0， $\text{[math]}$ ]上的取值范围．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣ $\text{[math]}$ ，0），B（ $\text{[math]}$ ，0），锐角α的终边与单位圆O交于点P．
（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；
（Ⅱ）当 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =﹣ $\text{[math]}$ 时，求α的值；
（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

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18. 已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）
（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分
（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；
（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；
（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a^x一定是Ω函数．

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19. 记所有非零向量构成的集合为V，对于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ∈V， $\text{[math]}$ ≠ $\text{[math]}$ ，定义V（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）=|x∈V|x• $\text{[math]}$ =x• $\text{[math]}$ |
1. （1）请你任意写出两个平面向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，并写出集合V（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）中的三个元素；
2. （2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）中元素的关系，并试着给出证明；
3. （3）若V（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）=V（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），其中 $\text{[math]}$ ≠ $\text{[math]}$ ，求证：一定存在实数λ₁ ， λ₂ ，且λ₁+λ₂=1，使得 $\text{[math]}$ =λ₁ $\text{[math]}$ +λ₂ $\text{[math]}$ ．
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