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2015年高考文数真题试卷（北京卷）

更新时间：2016-08-16 浏览次数：997 类型：高考真卷

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，每小题列出的四个选项中，选择符合题目要求的一项

1. 若集合 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ ( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 下列函数中为偶函数的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300

A . 90 B . 100 C . 180 D . 300

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5.
执行如图所示的程序框图，输出的k的值为（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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6. 设 $\text{[math]}$ 是非零向量，“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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7.
某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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8. (2020高三上·福州期中) 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
2015年5月1日
12
35000
2015年5月15日
48
35600
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）

A . 6升 B . 8升 C . 10升 D . 12升

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二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分

9. 复数 $\text{[math]}$ 的实部为。

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10. $\text{[math]}$ 三个数中最大的数是。

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11. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ = 。

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12. 已知（2，0）是双曲线 $\text{[math]}$ 的一个焦点，则 $\text{[math]}$ = 。

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13.
如图， $\text{[math]}$ 及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中的任意一点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为。

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14.
高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排

名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；

②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．

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三、解答题：本大题共6小题，共80分

15. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
（I）求f(x)的最小正周期；
（II）求f(x)在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值．

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16. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$
(I)求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
(II)设等比数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 问： $\text{[math]}$ 与数列 $\text{[math]}$ 的第几项相等？

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17.
某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．

（I）估计顾客同时购买乙和丙的概率；

（II）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；

（III）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？

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18.
如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB $\text{[math]}$ 平面ABC， $\text{[math]}$ VAB为等比三角形，AC $\text{[math]}$ BC且AC=BC= $\text{[math]}$ ， O，M分别为AB，VA的中点。

（I）求证：VB//平面MOC；

（II）求证：平面MOC $\text{[math]}$ 平面VAB；

（III）求三棱锥V-ABC的体积。

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四、综合题

19. 设函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）（I）求 $\text{[math]}$ 的单调区间和极值；
2. （2）（II）证明：若 $\text{[math]}$ 存在零点，则 $\text{[math]}$ 的区间（1， $\text{[math]}$ ]上仅有一个零点。
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20. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ ，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M。
1. （1）（I）求椭圆C的离心率；
2. （2）（II）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率。
3. （3）（III）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由。
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