2017年江苏省南通市高考数学四模试卷

更新时间：2017-07-30 浏览次数：725 类型：高考模拟

一、<b >填空题</b>

1. 已知集合A={x|﹣1＜x≤1}，B={x|0＜x≤2}，则A∪B=．

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2. 设复数z=（2+i）²（i为虚数单位），则z的共轭复数为．

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3. 根据如图所示的伪代码，当输入x的值为e（e为自然对数的底数）时，则输出的y的值为．

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4. 甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则平均数较小的一组数为．（选填“甲”或“乙”）

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5. 在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，A=75°，B=45°，c=3 $\text{[math]}$ ，则b=．

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6. 口袋中有形状大小都相同的2只白球和1只黑球．先从口袋中摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则出现“1只白球，1只黑球”的概率为．

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7. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且它的一个焦点与抛物线x²=8y的焦点重合，则该双曲线的方程为．

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8. 已知y=f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=1﹣2^x ，则当x∈（0，+∞）时，f（x）的解析式为f（x）=．

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9. 一个封闭的正三棱柱容器，高为8，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态）．将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E，F，F₁ ， E₁分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为．

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10. 如图，△ABC中，M是中线AD的中点．若| $\text{[math]}$ |=2，| $\text{[math]}$ |=3，∠BAC=60°，则 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的值为．

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11. （已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=4，a₃=10．若{a_n₊₁﹣a_n}是等比数列，则 $\text{[math]}$ =．

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12. 已知a，b∈R，a＞b，若2a²﹣ab﹣b²﹣4=0，则2a﹣b的最小值为．

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13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0，1）在圆C：x²+y²+2mx﹣2y+m²﹣4m+1=0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为．

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14. 设函数f（x）=（x﹣a）|x﹣a|﹣x|x|+2a+1（a＜0，）若存在x₀∈[﹣1，1]，使f（x₀）≤0，则a的取值范围为．

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二、<b >解答题</b>

15. 已知向量m $\text{[math]}$ （sin $\text{[math]}$ ，1）， $\text{[math]}$ =（1， $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ ），函数f（x）= $\text{[math]}$ 
1. （1）求函数f（x）的最小正周期；
2. （2）若f（α﹣ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，求f（2α+ $\text{[math]}$ ）的值．
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16. 在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2AD，BC⊥PD，E，F分别是PB，BC的中点．
求证：
1. （1） PC∥平面DEF；
2. （2）平面PBC⊥平面PBD．
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17. 为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分），以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．景观湖的边界线符合函数y=x+ $\text{[math]}$ （x＞0）模型，园区服务中心P在x轴正半轴上，PO= $\text{[math]}$ 百米．
1. （1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的最短长度；
2. （2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道PQ最短．
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18.
在平面直角坐标系xOy中，椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率为e，D为右准线上一点．
1. （1）若e= $\text{[math]}$ ，点D的横坐标为4，求椭圆的方程；
2. （2）设斜率存在的直线l经过点P（ $\text{[math]}$ ，0），且与椭圆交于A，B两点．若 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，DP⊥l，求椭圆离心率e．
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19. 设区间D=[﹣3，3]，定义在D上的函数f（x）=ax³+bx+1（a＞0，b∈R），集合A={a|∀x∈D，f（x）≥0}．
1. （1）若b= $\text{[math]}$ ，求集合A；
2. （2）设常数b＜0
  ①讨论f（x）的单调性；
  
  ②若b＜﹣1，求证：A=∅．
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20. 已知数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，前n项和为S_n ，且a_n₊₁²﹣nλ²﹣1=2λS_n ， λ为正常数．
1. （1）求数列{a_n}的通项公式；
2. （2）记b_n= $\text{[math]}$ ，C_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （k，n∈N*，k≥2n+2）．
  求证：
  ①b_n＜b_n₊₁；
  ②C_n＞C_n₊₁ ．
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