2016-2017学年湖北省部分重点中学高一下学期期中数学试...

更新时间：2017-07-04 浏览次数：355 类型：期中考试

一、选择题

1. 等差数列{a_n}中，a₇+a₉=16，a₄=2，则a₁₂=（）

A . 10 B . 14 C . 15 D . 30

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2. (2016高一下·合肥期中) 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（　　）

A . 锐角三角形 B . 直角三角形 C . 钝角三角形 D . 由增加的长度决定

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3. 数列{a_n}中，已知对任意n∈N^* ， a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ﹣1，则a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²等于（）

A . （3ⁿ﹣1）² B . $\text{[math]}$ C . 9ⁿ﹣1 D . $\text{[math]}$

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4. 如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，连接AC、MN交于P点，若 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ ，则λ的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 古代数字著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，该女子所需的天数至少为（）

A . 7 B . 8 C . 9 D . 10

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6. 公差不为0的等差数列{a_n}的部分项 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…构成等比数列{ $\text{[math]}$ }，且k₁=1，k₂=2，k₃=6，则k₅为（）

A . 86 B . 88 C . 90 D . 92

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7. 如图，在等腰直角△ABO中，设 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |=1，C为AB上靠近A点的三等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任一点， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ）=（）

A . $\text{[math]}$ B . ﹣ $\text{[math]}$ C . ﹣ $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB=90°，MN是圆O的一条直径，点C在圆内，且满足 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ +（1﹣λ） $\text{[math]}$ （λ∈R），则 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . ﹣ $\text{[math]}$ B . ﹣ $\text{[math]}$ C . ﹣ $\text{[math]}$ D . ﹣1

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9. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n且满足S₁₅＞0，S₁₆＜0则 $\text{[math]}$ 中最大的项为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知△AOB中，∠AOB=120°，| $\text{[math]}$ |=3，| $\text{[math]}$ |=2，过O作OD垂直AB于点D，点E为线段OD的中点，则 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 如图，已知点D为△ABC的边BC上一点， $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，E_n（n∈N₊）为边AC上的点，满足 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a_n₊₁ ， $\text{[math]}$ =（4a_n+3） $\text{[math]}$ ，其中实数列{a_n}中a_n＞0，a₁=1，则{a_n}的通项公式为（）

A . 3•2ⁿ^﹣¹﹣2 B . 2ⁿ﹣1 C . 4ⁿ﹣2 D . 2•4ⁿ^﹣¹﹣1

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12. 已知数列{a_n}满足：a_n₊₁＞2a_n﹣a_n_﹣₁（n＞1．n∈N^*），给出下述命题：
①若数列{a_n}满足：a₂＞a₁ ，则a_n＞a_n_﹣₁（n＞1，n∈N^*）成立；
②存在常数c，使得a_n＞c（n∈N^*）成立；
③若p+q＞m+n（其中p，q，m，n∈N^*），则a_p+a_q＞a_m+a_n；
④存在常数d，使得a_n＞a₁+（n﹣1）d（n∈N^*）都成立
上述命题正确的个数为（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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二、填空题

13. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₁=﹣1，a_n₊₁=S_n•S_n₊₁ ，则数列{a_n}的通项公式a_n=．

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14. 如图，在△ABC中，已知∠BAC= $\text{[math]}$ ，| $\text{[math]}$ |=2，| $\text{[math]}$ |=3，点D为边BC上一点，满足 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，点E是AD上一点，满足 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，则| $\text{[math]}$ |=．

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15. 如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cosθ=．

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16. 点O是平面上一定点，A、B、C是平面上△ABC的三个顶点，∠B、∠C分别是边AC、AB的对角，以下命题正确的是（把你认为正确的序号全部写上）．
①动点P满足 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +λ（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +λ（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +λ（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中；
⑤动点P满足 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +λ（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量 $\text{[math]}$ =（a，c）， $\text{[math]}$ =（cosC，cosA）．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，a= $\text{[math]}$ c，求角A；
2. （2）若 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =3bsinB，cosA= $\text{[math]}$ ，求cosC的值．
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18. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知a₁=1，a_n₊₁= $\text{[math]}$ S_n（n∈N^*）．
1. （1）证明：数列{ $\text{[math]}$ }是等比数列；
2. （2）求数列{S_n}的前n项和T_n ．
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19. 如图，已知O为△ABC的外心，角A、B、C的对边分别为a、b、c．
1. （1）若5 $\text{[math]}$ +4 $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求cos∠BOC的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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20. 如图，D、E分别是△ABC的三等分点，设 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∠BAC= $\text{[math]}$ ．
1. （1）用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =15，| $\text{[math]}$ |=3 $\text{[math]}$ ，求△ABC的面积．
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21. △ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，1+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
1. （1）求A的大小；
2. （2）若△ABC为锐角三角形，求函数y=2sin²B﹣2cosBcosC的取值范围；
3. （3）现在给出下列三个条件：①a=1；②2c﹣（ $\text{[math]}$ +1）b=0；③B=45°，试从中再选择两个条件，以确定△ABC，求出所确定的△ABC的面积．
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22. 已知数列{a_n}为等差数列，a₁=2，{a_n}的前n项和为S_n ，数列{b_n}为等比数列，且a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n﹣1）•2ⁿ⁺²+4对任意的n∈N*恒成立．
1. （1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
2. （2）是否存在非零整数λ，使不等式sin $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ 对一切n∈N^*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
3. （3）各项均为正整数的无穷等差数列{c_n}，满足c₃₉=a₁₀₀₇ ，且存在正整数k，使c₁ ， c₃₉ ， c_k成等比数列，若数列{c_n}的公差为d，求d的所有可能取值之和．
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