湖南省永州市2018-2019高三上学期理数第二次模拟考试试...

更新时间：2019-04-02 浏览次数：265 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位），则复数 $\text{[math]}$ （）

A . B . C . D .

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2. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . B . C . D .

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3. 我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米谷约为（）

A . 134石 B . 169石 C . 338石 D . 454石

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4. 设等比数列 $\text{[math]}$ 的公比为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 数列是公比为的等比数列 B . 数列是公比为的等比数列 C . 数列是公比为的等比数列 D . 数列是公比为的等比数列

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5. “远离毒品，珍爱生命”，某校为强化禁毒教育，掌握学生对禁毒宣传资料的了解程度，随机抽取30名学生参加禁毒知识测试，得分情况如图所示，若所有得分的中位数为 $\text{[math]}$ ，众数为 $\text{[math]}$ ，平均数为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . B . C . D .

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6. 为了得到函数 $\text{[math]}$ 的图像，只需将函数 $\text{[math]}$ 的图像（）

A . 向右平移个单位 B . 向右平移个单位 C . 向左平移个单位 D . 向左平移个单位

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7. 若等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -16 B . -18 C . -20 D . -22

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8. 在平行四边形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ （）

A . B . C . D .

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9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A . 20 B . 24 C . 26 D . 30

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10. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作斜率为 $\text{[math]}$ 的直线交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，则 $\text{[math]}$ 的长度为（）

A . B . C . D .

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11. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动，则下列判断中正确的是（）

①平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；③异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的取值范围是 $\text{[math]}$ ；④三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积不变.

A . ①② B . ①②④ C . ③④ D . ①④

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12. 设 $\text{[math]}$ 表示不超过 $\text{[math]}$ 的最大整数，已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则整数 $\text{[math]}$ （）

A . 99 B . 100 C . 101 D . 102

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二、填空题

13. 若 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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14. 已知双曲线的两个焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，渐近线为 $\text{[math]}$ ，则双曲线的标准方程为．

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15. $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为．

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ 有4个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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18. 如图，在多面体 $\text{[math]}$ 中，四边形 $\text{[math]}$ 为矩形，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证：直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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19. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 的纵坐标为8，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 准线上的任意一点，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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20. 2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.
方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.

方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.
1. （1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；
2. （2）若某顾客获得抽奖机会.
  ①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；
  
  ②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为自然对数的底数， $\text{[math]}$ ）.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）证明：当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 有两个零点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
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22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），以坐标原点 $\text{[math]}$ 为极点，以 $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ .
1. （1）若点 $\text{[math]}$ 的直角坐标为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 及曲线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 的值.
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23. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 的最小值为1，求实数 $\text{[math]}$ 的值.
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