2017年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）

更新时间：2017-04-10 浏览次数：783 类型：高考模拟

一、选择题：

1. 已知集合 A={x|x²＜4}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（）

A . ∅ B . {0} C . {0，1} D . {0，1，2}

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2. 已知 $\text{[math]}$ ，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（）

A . 1+2i B . 1﹣2i C . 2+i D . 2﹣i

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3. 下列命题为真命题的是（）

A . 若 x＞y＞0，则 ln x+ln y＞0 B . “φ= $\text{[math]}$ ”是“函数 y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件 C . ∃x₀∈（﹣∞，0），使 3^x0＜4^x0成立 D . 已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且 m∥β，n∥α，则α∥β

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4. (2016高二下·宜春期中) 设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 5 D . 3

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5. 已知圆 C：（x﹣a）²+（y﹣2）²=4（a＞0），若倾斜角为45°的直线l过抛物线y²=﹣12x 的焦点，且直线l被圆C截得的弦长为2 $\text{[math]}$ ，则a等于（）

A . $\text{[math]}$ +1 B . $\text{[math]}$ C . 2± $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ﹣1

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6. 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1，2）上是减函数的为（）

A . y=log $\text{[math]}$ |x| B . y=x $\text{[math]}$ C . y= $\text{[math]}$ D . y=lg $\text{[math]}$

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7. 设向量 $\text{[math]}$ =（1，﹣2）， $\text{[math]}$ =（a，﹣1）， $\text{[math]}$ =（﹣b，0），其中 O 为坐标原点，b＞0，若 A，B，C 三点共线，则 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 4 B . 6 C . 8 D . 9

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8. 已知 x，y 满足不等式组 $\text{[math]}$ ，当 3≤m≤5 时，目标函数 z=3x+2y的最大值的变化范围是（）

A . [7，8] B . [7，15] C . [6，8] D . [6，15]

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9. 已知一个平放的各棱长均为 4 的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮．当注入的水的体积是该三棱锥体积的 $\text{[math]}$ 时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 如图所示，由直线x=a，x=a+1（a＞0），y=x²及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即 a²＜ $\text{[math]}$ x²dx＜（a+1）² ．类比之，若对∀n∈N*，不等式 $\text{[math]}$ ＜A＜ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ 恒成立，则实数A等于（）

A . ln $\text{[math]}$ B . ln 2 C . $\text{[math]}$ ln 2 D . $\text{[math]}$ ln 5

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二、填空题：

11. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．

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12. 函数f （x ）= $\text{[math]}$ （ A＞0，ω＞0，|φ|＜ $\text{[math]}$ ）的部分图象如图所示，则f（ $\text{[math]}$ ）=．

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13. 工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有种．

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14. 已知A为双曲线C： $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）的右顶点，B₁ ， B₂分别为虚轴的两个端点，F为右焦点．若B₂F⊥AB₁ ，则双曲线C的离心率是．

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15. 在研究函数 f （ x ）= $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ 的性质时，某同学受两点间距离公式启发，将f（x）变形为f（x）= $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ，并给出关于函数f（x）以下五个描述：
①函数 f（x）的图象是中心对称图形；
②函数 f（x）的图象是轴对称图形；
③函数 f（x）在[0，6]上是增函数；
④函数 f（x）没有最大值也没有最小值；
⑤无论m为何实数，关于x的方程 f（x）﹣m=0都有实数根．
其中描述正确的是．

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三、解答题：

16. 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ sinωx cosωx﹣sin²ωx+1（ω＞0）相邻两条对称轴之间的距离为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足a= $\text{[math]}$ ，f（A）=1，求△ABC 面积 S 的最大值．

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17. 如图，四棱锥P﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD 都是边长为2的等边三角形，E 是BC的中点．
（Ⅰ）证明：平面AE∥平面 PCD；
（Ⅱ）求PAB与平面 PCD 所成二面角的大小．

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18. 为弘扬传统文化，某校举行诗词大赛．经过层层选拔，最终甲乙两人进入决赛，争夺冠亚军．决赛规则如下：①比赛共设有五道题；②比赛前两人答题的先后顺序通过抽签决定后，双方轮流答题，每次回答一道，；③若答对，自己得1分；若答错，则对方得1分；④先得 3 分者获胜．已知甲、乙答对每道题的概率分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且每次答题的结果相互独立．
（Ⅰ）若乙先答题，求甲3：0获胜的概率；
（Ⅱ）若甲先答题，记乙所得分数为 X，求X的分布列和数学期望 EX．

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19. 数列{a_n}是公差为正数的等差数列，a₂和 a₅是方程x²﹣12x+27=0 的两实数根，数列{b_n}满足3ⁿ^﹣¹b_n=na_n₊₁﹣（n﹣1）a_n ．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设T_n为数列{b_n}的前n项和，求T_n ，并求T_n＜7 时n的最大值．

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20. 设f（x）=x ln x﹣ax²+（2a﹣1）x，a∈R．
（Ⅰ）令g（x）=f′（x ），求 g（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a≤0时，直线 y=t（﹣1＜t＜0）与f（x）的图象有两个交点A（x₁ ， t），B（x₂ ， t），且x₁＜x₂ ，求证：x₁+x₂＞2．

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21. 已知椭圆 C： $\text{[math]}$ =1（ a＞b＞0）经过点（1， $\text{[math]}$ ），离心率为 $\text{[math]}$ ，点 A 为椭圆 C 的右顶点，直线 l 与椭圆相交于不同于点 A 的两个点P （x₁ ， y₁），Q （x₂ ， y₂）．

（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）当 $\text{[math]}$ ⋅ $\text{[math]}$ =0 时，求△OPQ 面积的最大值；
（Ⅲ）若直线 l 的斜率为 2，求证：△APQ 的外接圆恒过一个异于点 A 的定点．

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