2015-2016学年福建省宁德市五校联考高二下学期期中数学...

更新时间：2017-03-28 浏览次数：724 类型：期中考试

一、选择题：

1. 复数 $\text{[math]}$ 等于（）

A . i B . ﹣i C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. “e是无限不循环小数，所以e为无理数．”该命题是演绎推理中的三段论推理，其中大前提是（）

A . 无理数是无限不循环小数 B . 有限小数或有限循环小数为有理数 C . 无限不循环小数是无理数 D . 无限小数为无理数

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3. 下列值等于1的是（）

A . $\text{[math]}$ xdx B . $\text{[math]}$ dx C . $\text{[math]}$ 1dx D . $\text{[math]}$ cosxdx

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4. 设函数f（x）=g（x）+x² ，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）

A . 4 B . ﹣ $\text{[math]}$ C . 2 D . ﹣ $\text{[math]}$

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5. 若f（x）=2xf′（1）+x² ，则f′（0）等于（）

A . 2 B . 0 C . ﹣2 D . ﹣4

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6. 观察下列各式：3²+4²=5² ， 5²+12²=13² ， 7²+24²=25² ， 9²+40²=41² ， …，若a²+b²=c² ，当a=11时，c的值为（）

A . 57 B . 59 C . 61 D . 63

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7. 函数f（x）=ln（x²+2）﹣e^x^﹣¹的图象可能是（）

A . B . C . D .

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8. 设S_k= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ （k≥3，k∈N^*），则S_k₊₁=（）

A . S_k+ $\text{[math]}$ B . S_k+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ C . S_k+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ D . S_k﹣ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$

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9. 若f（x）是定义在R上的可导函数，且e^f'^（^x^）的图象如图所示，则y=f（x）的递减区间是（）

A . （﹣∞，0） B . （2，+∞） C . （0，1） D . （0，2）

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10. 做一个圆柱形锅炉，容积为8π，两个底面的材料每单位面积的价格为2元，侧面的材料每单位面积的价格为4元．则当造价最低时，锅炉的底面半径与高的比为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 2 D . 4

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11. 已知命题：若数列{a_n}为等差数列，且a_m=a，a_n=b（m≠n，m、n∈N⁺）则a_m₊_n= $\text{[math]}$ ；现已知等比数列{b_n}（b_n＞0，n∈N⁺），b_m=a，b_n=b，（m≠n，m、n∈N⁺）若类比上述结论，则可得到b_m₊_n=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 若函数f（x）=|sinx|（x≥0）的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 4

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二、填空题：

13. 复数z=（3+2i）i（i为虚数单位）的模为．

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14. 一质点的运动方程为s（t）= $\text{[math]}$ ，则它在t=3时的速度为．

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15. 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ，…S_n为其前n项和，计算得S₁= $\text{[math]}$ ，S₂= $\text{[math]}$ ，S₃= $\text{[math]}$ ，S₄}= $\text{[math]}$ ．观察上述结果，归纳计算S_n=．

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16. 已知函数f（x）在其定义区间[a，b]上满足①f（x）＞0；②f′（x）＜0；③对任意的x₁ ， x₂∈[a，b]，式子 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ 恒成立．记S₁= $\text{[math]}$ f（x）dx，S₂= $\text{[math]}$ •（b﹣a），S₃=f（b）（b﹣a），则S₁ ， S₂ ， S₃的大小关系为．（按由小到大的顺序）

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三、解答题：

17. 已知z₁= $\text{[math]}$ ﹣（10﹣a²）i，z₂= $\text{[math]}$ +（2a﹣5）i，a∈R，i为虚数单位．若z₁+z₂是实数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求 $\text{[math]}$ •z₂的值．

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18. 已知函数f（x）=2x³+bx²+cx，其导函数y=f′（x）的图象（如图所示）经过点（1，0），（2，0）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）﹣m=0恰有2个根，求m的值．

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19. 已知点列A_n（x_n ， 0），n∈N^* ，其中x₁=0，x₂=1．A₃是线段A₁A₂的中点，A₄是线段A₂A₃的中点，…，A_n₊₂是线段A_nA_n₊₁的中点，…设a_n=x_n₊₁﹣x_n ．
（Ⅰ）写出x_n与x_n_﹣₁、x_n_﹣₂（n≥3）之间的关系式并计算a₁ ， a₂ ， a₃；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

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20. 某商场柜台销售某种产品，每件产品的成本为10元，并且每件产品需向该商场交a元（3≤a≤7）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（20≤x≤25）时，一天的销售量为（x﹣30）²件．
（Ⅰ）求该柜台一天的利润f（x）（元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，该柜台一天的利润f（x）最大，并求出f（x）的最大值g（a）．

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21. 已知a，b∈R⁺ ， m，n∈N^* ．
（Ⅰ）求证：（aⁿ+bⁿ）（a^m+b^m）≤2（a^m⁺ⁿ+b^m⁺ⁿ）；
（Ⅱ）求证： $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ．

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22. 已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈（﹣1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

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