2016-2017学年江苏省南京市高二上学期期末数学试卷（理...

更新时间：2017-03-10 浏览次数：540 类型：期末考试

一、填空题：

1. 命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是．

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2. 双曲线 $\text{[math]}$ =1的渐近线方程是．

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3. 已知复数 $\text{[math]}$ 为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是．

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4. 在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是．

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5. 曲线y=x⁴与直线y=4x+b相切，则实数b的值是．

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6. 已知实数x，y满足条件 $\text{[math]}$ 则z=2x+y的最大值是．

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7. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y²=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是．

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8. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x²+y²=r²（r＞0）与圆M：（x﹣3）²+（y+4）²=4相交，则r的取值范围是．

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9. 观察下列等式：
（sin $\text{[math]}$ ）^﹣²+（sin $\text{[math]}$ ）^﹣²= $\text{[math]}$ ×1×2；
（sin $\text{[math]}$ ）^﹣²+（sin $\text{[math]}$ ）^﹣²+（sin $\text{[math]}$ ）^﹣²+sin（ $\text{[math]}$ ）^﹣²= $\text{[math]}$ ×2×3；
（sin $\text{[math]}$ ）^﹣²+（sin $\text{[math]}$ ）^﹣²+（sin $\text{[math]}$ ）^﹣²+…+sin（ $\text{[math]}$ ）^﹣²= $\text{[math]}$ ×3×4；
（sin $\text{[math]}$ ）^﹣²+（sin $\text{[math]}$ ）^﹣²+（sin $\text{[math]}$ ）^﹣²+…+sin（ $\text{[math]}$ ）^﹣²= $\text{[math]}$ ×4×5；
…
照此规律，
（sin $\text{[math]}$ ）^﹣²+（sin $\text{[math]}$ ）^﹣²+（sin $\text{[math]}$ ）^﹣²+…+（sin $\text{[math]}$ ）^﹣²=．

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10. 若“∃x∈R，x²+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是．

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11. 已知函数f（x）=（x²+x+m）e^x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是．

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12. 有下列命题：
①“m＞0”是“方程x²+my²=1表示椭圆”的充要条件；
②“a=1”是“直线l₁：ax+y﹣1=0与直线l₂：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；
③“函数f （x）=x³+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；
④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．
其中所有真命题的序号是．

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13. 已知椭圆E： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM= $\text{[math]}$ PF，则椭圆E离心率的取值范围是．

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14. 已知t＞0，函数f（x）= $\text{[math]}$ ，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是．

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二、解答题：

15. 在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．
1. （1）求BC边上的中线所在直线的方程；
2. （2）求BC边上的高所在直线的方程．
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16. 已知数列{a_n}满足a₁=1，（a_n﹣3）a_n₊₁﹣a_n+4=0（n∈N^*）．
1. （1）求a₂ ， a₃ ， a₄；
2. （2）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．
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17. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．
1. （1）求圆M的方程；
2. （2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为 $\text{[math]}$ ，求直线l的方程．
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18. 某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．
1. （1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；
2. （2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．
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19. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．
1. （1）求椭圆E的方程；
2. （2）若BC⊥CD，求k的值；
3. （3）记直线AD，BC的斜率分别为k₁ ， k₂ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值．
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20. 已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．
1. （1）当a=1时，求f（x）的最小值；
2. （2）若存在x∈[1，3]，使 $\text{[math]}$ +lnx=2成立，求a的取值范围；
3. （3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（ $\text{[math]}$ ）成立，求a的取值范围．
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