湖南省株洲市2018届高三年级理数教学质量统一检测卷

更新时间：2018-10-09 浏览次数：319 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设 $\text{[math]}$ 为虚数单位， $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . 1 C . 0 D . -1

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3. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。其书中的更相减损法的思路与右边的程序框图相似．执行该程序框图，若输入的 $\text{[math]}$ 分别为 12，15，则输出的 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 3 B . 4 C . 6 D . 8

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4. 设函数 $\text{[math]}$ 的图象在点 $\text{[math]}$ 处切线的斜率为 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的图象一部分可以是（）

A . B . C . D .

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5. 魔术师用来表演的六枚硬币 $\text{[math]}$ 中，有 5 枚是真币，1 枚是魔术币，它们外形完全相同，但是魔术币与真币的重量不同，现已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 共重 10 克， $\text{[math]}$ 共重 11 克， $\text{[math]}$ 共重 16 克，则可推断魔术币为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. $\text{[math]}$ 展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为（）

A . 14 B . -14 C . 56 D . -56

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7. 在面积为 1 的正方形 $\text{[math]}$ 中任意取一点 $\text{[math]}$ ，能使三角形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积都大于 $\text{[math]}$ 的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的外接球的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其图象与直线 $\text{[math]}$ 相邻两个交点的距离为 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 上的两个动点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ .线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，则点 C 与圆 $\text{[math]}$ 的位置关系为（）

A . 圆上 B . 圆外 C . 圆内 D . 不能确定

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11. (2018·株洲模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 恰有两个根 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料 $\text{[math]}$ ，其各棱长都为2，已知 $\text{[math]}$ 分别为上，下底面的中心， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，过 $\text{[math]}$ 三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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二、填空题

13. (2018·株洲模拟) 设变量 $\text{[math]}$ 满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则目标函数 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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14. 在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的为．

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15. 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则过点 $\text{[math]}$ 且以 $\text{[math]}$ 为两焦点的双曲线的离心率为．

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16. 已知正 $\text{[math]}$ 的中心为 $\text{[math]}$ ，边长为 $\text{[math]}$ ，且平面内一动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
(Ⅰ)求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
(Ⅱ)证明： $\text{[math]}$ .

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18. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
(Ⅰ)证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
(Ⅱ)若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

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19. 在党的第十九次全国代表大会上，习近平总书记指出：“房子是用来住的，不是用来炒的”．为了使房价回归到收入可支撑的水平，让全体人民住有所居，近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了住房限购令．某市一小区为了进一步了解已购房民众对市政府出台楼市限购令的认同情况，随机抽取了本小区 50 户住户进行调查，各户人平均月收入（单位：千元，）的户数频率分布直方图如下图：
其中，赞成限购的户数如下表：
人平均月收入
   $\text{[math]}$
   $\text{[math]}$
   $\text{[math]}$
   $\text{[math]}$
   $\text{[math]}$
   $\text{[math]}$
赞成户数
4
9
12
6
3
1
附：临界值表
$\text{[math]}$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
     $\text{[math]}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式： $\text{[math]}$ .
1. （1）求人平均月收入在 $\text{[math]}$ 的户数，若从他们中随机抽取两户，求所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率；
2. （2）求所抽取的 50户的人平均月收入的平均数；
3. （3）若将小区人平均月收入不低于7千元的住户称为“高收入户”，人平均月收入低于7千元的住户称为“非高收入户”．根据已知条件完成如图所给的 $\text{[math]}$ 列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.
  
  非高收入户
  高收入户
  总计
  赞成
  
  不赞成
  
  总计
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20. 在平面直角坐标系中，已知 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点，且椭圆 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ .
(Ⅰ)求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
(Ⅱ) 是否存在平行四边形 $\text{[math]}$ ，同时满足下列两个条件：
①点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上；②点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上且直线 $\text{[math]}$ 的斜率等于1.如果存在，求出 $\text{[math]}$ 点坐标；如果不存在，说明理由.

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21. 设函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为实常数，其图像与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ .
（I）求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（II）设 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

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22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，曲线 $\text{[math]}$ 的参数方程为： $\text{[math]}$ ，以坐标原点 $\text{[math]}$ 为极点，以 $\text{[math]}$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
1. （1）若把曲线 $\text{[math]}$ 上的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的极坐标方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程是 $\text{[math]}$ ，与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，求三角形 $\text{[math]}$ 的面积.
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23. (2018·株洲模拟) 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求该函数的最小值；
2. （2）解不等式： $\text{[math]}$ .
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