2016年天津市河北区高考数学一模试卷（理科）

更新时间：2017-01-19 浏览次数：762 类型：高考模拟

一、选择题：

1. 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁_UA）∩B=（）

A . {2} B . {2，4} C . {0，4} D . {4}

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2. i是虚数单位，复数 $\text{[math]}$ =（）

A . 1+2i B . 1﹣2i C . ﹣1+2i D . ﹣1﹣2i

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3. 执行如图的程序框图，则输出S的值为（）

A . 2016 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . ﹣1

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4. 已知实数x，y满足条件 $\text{[math]}$ ，则z=3x+2y的取值范围是（）

A . （﹣∞，10] B . [5，10] C . [8，+∞） D . [8，10]

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5. 设x，y∈R，则“x≥1且y≥2”是“x+y≥3”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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6. 已知双曲线 $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）

A . $\text{[math]}$ =1 B . $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1 C . $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1 D . $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ =1

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7. 设函数f（x）=e^|lnx|（e为自然对数的底数）．若x₁≠x₂且f（x₁）=f（x₂），则下列结论一定不成立的是（　　）

A . x₂f（x₁）＞1 B . x₂f（x₁）=1 C . x₂f（x₁）＜1 D . x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）

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8. 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ ，若关于x的方程f²（x）﹣bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则b+c的取值范围为（）

A . （﹣∞，3） B . （0，3] C . [0，3] D . （0，3）

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二、填空题：

9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．

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10. 如图，已知切线PA切圆于点A，割线PBC分别交圆于点B，C，点D在线段BC上，且DC=2BD，∠BAD=∠PAB， $\text{[math]}$ ，PB=4，则线段AB的长为．

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11. 由曲线y=x² ， y=2x围成的封闭图形的面积为．

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12. 设常数a∈R．若（x²+ $\text{[math]}$ ）⁵的二项展开式中x⁷项的系数为﹣15，则a=．

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13. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a= $\text{[math]}$ ，b=3， $\text{[math]}$ sinB+sinA=2 $\text{[math]}$ ，则cosB的值为．

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14. 在Rt△ABC中，CA=CB=2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN= $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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三、解答题：

15. 已知函数f（x）=sinxcosx﹣ $\text{[math]}$ x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[0， $\text{[math]}$ ]时，求f（x）的最大值和最小值．

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16. 某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：
学院
机械工程学院
海洋学院
医学院
经济学院
人数
4
6
4
6
（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；
（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

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17. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=AP=2CD=2，M是棱PB上一点．
（Ⅰ）若BM=2MP，求证：PD∥平面MAC；
（Ⅱ）若平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若二面角B﹣AC﹣M的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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18. 已知数列{a_n}是等差数列，S_n为{a_n}的前n项和，且a₁₀=19，S₁₀=100；数列{b_n}对任意n∈N^* ，总有b₁•b₂•b₃…b_n_﹣₁•b_n=a_n+2成立．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=（﹣1）ⁿ $\text{[math]}$ ，求数列{c_n}的前n项和T_n ．

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19. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率e= $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的两点A，B，与圆x²+y²= $\text{[math]}$ 相切于点M．
（i）证明：OA⊥OB（O为坐标原点）；
（ii）设λ= $\text{[math]}$ ，求实数λ的取值范围．

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20. 已知函数f（x）=a（x﹣1）²+lnx+1，g（x）=f（x）﹣x，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=﹣ $\text{[math]}$ 时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数g（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈[1，+∞）时，若y=f（x）图象上的点都在 $\text{[math]}$ 所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．

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