2016年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）

更新时间：2017-01-19 浏览次数：265 类型：高考模拟

一、选择题

1. 集合A={1，2，3，4}，B={x∈R|x≤3}，则A∩B=（）

A . {1，2，3，4} B . {1，2，3} C . {2，3} D . {1，4}

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2. 若命题p：∃x∈R，sinx≥1，则￢p为（）

A . ∀x∈R，sinx≤1 B . ∀x∈R，sinx＜1 C . ∃x∈R，sinx＜1 D . ∃x∈R，sinx≤1

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3. 如图，△ABC为正三角形，AA₁∥BB₁∥CC₁ ， CC₁⊥底面△ABC，若BB₁=2AA₁=2，AB=CC₁=3AA₁ ，则多面体ABC﹣A₁B₁C₁在平面A₁ABB₁上的投影的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 9 D . $\text{[math]}$

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4. 若向量 $\text{[math]}$ =（1，0）， $\text{[math]}$ =（2，1）， $\text{[math]}$ =（x，1）满足条件3 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，则x的值（）

A . 1 B . ﹣3 C . ﹣2 D . ﹣1

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5. 成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{b_n}中的b₃、b₄、b₅ ，则数列{b_n}的通项公式为（）

A . b_n=2ⁿ^﹣¹ B . b_n=3ⁿ^﹣¹ C . b_n=2ⁿ^﹣² D . b_n=3ⁿ^﹣²

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6. 一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠券，每张优惠券只能购买一件商品．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：
优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；
优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；
优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．
若顾客购买某商品后，使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为（）

A . 179元 B . 199元 C . 219元 D . 239元

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7. 已知函数f（x）= $\text{[math]}$ ，则f（2+log₂3）的值为（）

A . 24 B . 16 C . 12 D . 8

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8. 集合A={（x，y）|x，y∈R}，若x，y∈A，已知x=（x₁ ， y₁），y=（x₂ ， y₂），定义集合A中元素间的运算x*y，称为“*”运算，此运算满足以下运算规律：
①任意x，y∈A有x*y=y*x
②任意x，y，z∈A有（x+y）*z=x*z+y*z（其中x+y=（x₁+x₂ ， y₁+y₂））
③任意x，y∈A，a∈R有（ax）*y=a（x*y）
④任意x∈A有x*x≥0，且x*x=0成立的充分必要条件是x=（0，0）为向量，如果x=（x₁ ， y₁），y=（x₂ ， y₂），那么下列运算属于“*”正确运算的是（）

A . x*y=x₁y₁+2x₂y₂ B . x*y=x₁y₁﹣x₂y₂ C . x*y=x₁y₁+x₂y₂+1 D . x*y=2x₁x₂+y₁y₂

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二、填空题

9. 设i是虚数单位，复数 $\text{[math]}$ 所对应的点在第一象限，则实数a的取值范围为

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10. 设变量x，y满足约束条件 $\text{[math]}$ ，则目标函数z=2x+y的最大值为

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11. （坐标系与参数方程选做题）
已知直线 $\text{[math]}$ （t为参数）与直线l₂：2x﹣4y=5相交于点B，又点A（1，2），则|AB|=

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12. 为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）由此得到频率分布直方图如图．则产品数量位于[55，65）范围内的频率为；这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是．

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13. 若点O和点F₂（﹣ $\text{[math]}$ ，0）分别为双曲线 $\text{[math]}$ =1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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14. 已知函数f_n（x）= $\text{[math]}$ （n∈N^*），关于此函数的说法正确的序号是
①f_n（x）（n∈N^*）为周期函数；②f_n（x）（n∈N^*）有对称轴；③（ $\text{[math]}$ ，0）为f_n（x）（n∈N^*）的对称中心：④|f_n（x）|≤n（n∈N^*）．

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三、解答题

15. 已知函数f（x）=2 $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ ωx）•cos（ $\text{[math]}$ ωx）+2cos²（ $\text{[math]}$ ωx）（ω＞0），且函数f（x）的最小正周期为π．
1. （1）求ω的值；
2. （2）求f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值和最小值．
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16. 如图1，△ABC是等腰直角三角形∠CAB=90°，AC=2a，E，F分别为AC，BC的中点，沿EF将△CEF折起，得到如图2所示的四棱锥C′﹣ABFE
1. （1）求证：AB⊥平面AEC′；
2. （2）当四棱锥C′﹣ABFE体积取最大值时，
  ①若G为BC′中点，求异面直线GF与AC′所成角；
  ②在C′﹣ABFE中AE交BF于C，求二面角A﹣CC′﹣B的余弦值．
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17. 在2015﹣2016赛季CBA联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表（注：表中分数 $\text{[math]}$ ，N表示投篮次数，n表示命中次数），假设各场比赛相互独立．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
乙
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
根据统计表的信息：
1. （1）从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；
2. （2）试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；
3. （3）在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望．
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18. 已知f（x）=2ln（x+2）﹣（x+1）² ， g（x）=k（x+1）．
1. （1）求f（x）的单调区间；
2. （2）当k=2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；
3. （3）若存在x₀＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x₀）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．
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19. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）过点（ $\text{[math]}$ ，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形．
1. （1）求椭圆的标准方程；
2. （2）设M（x，y）是椭圆C上的动点，P（p，0）是x轴上的定点，求|MP|的最小值及取最小值时点M的坐标．
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20. 数列{a_n}中，定义：d_n=a_n₊₂+a_n﹣2a_n₊₁（n≥1），a₁=1．
1. （1）若d_n=a_n ， a₂=2，求a_n；
2. （2）若a₂=﹣2，d_n≥1，求证此数列满足a_n≥﹣5（n∈N^*）；
3. （3）若|d_n|=1，a₂=1且数列{a_n}的周期为4，即a_n₊₄=a_n（n≥1），写出所有符合条件的{d_n}．
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